高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系同步达标检测题

【精选】1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-1优质练习

一．填空题

1．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，点M为△ABC内切圆的圆心，过点M作动直线l与线段AB，AC都相交，将△ABC沿动直线l翻折，使翻折后的点A在平面BCM上的射影P落在直线BC上，点A在直线l上的射影为Q，则的最小值为_____．

2．已知空间向量，0，，，1，，则___________.

3．设平面与向量垂直，平面与向量垂直，则平面与的位置关系是________．

4．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则________.________.

5．已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为.点为的重心，若，，，，则__________；__________.

6．如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使与成角，则间的距离为______．

7．已知球是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，为球的一条直径，为正八面体表面上的一个动点，则的最小值是_______，最大值是________.

8．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为______

9．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则______．

10．已知向量，，，则______； _______.

11．已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为          ．

12．已知空间四个点，，，，则直线AD与平面ABC所成的角的度数为________，点D到平面ABC的距离是________．

13．已知向量，，若，则实数=________.

14．在平行六面体中，已知，，=__．

15．已知O(0，0，0)，A(1，2，1)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是________.

参考答案与试题解析

1．【答案】825

【解析】以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设直线l的斜率为k，用k表示出|PQ|，|AQ|，利用基本不等式得出答案．

【详解】

过点M作△ABC的三边的垂线，设⊙M的半径为r，则r2，

以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，

如图所示，则M（2，2），A（0，8），

因为A在平面BCM的射影在直线BC上，所以直线l必存在斜率，

过A作AQ⊥l，垂足为Q，交直线BC于P，

设直线l的方程为：y＝k（x﹣2）+2，则|AQ|，

又直线AQ的方程为：yx+8，则P（8k，0），所以|AP|8，

所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝8，

所以，

①当k＞﹣3时，4（k+3）25≥825，

当且仅当4（k+3），即k3时取等号；

②当k＜﹣3时，则4（k+3）23≥823，

当且仅当﹣4（k+3），即k3时取等号.

故答案为：825

【点睛】

本题考查了考查空间距离的计算，考查基本不等式的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2．【答案】，，.

【解析】分析：根据空间向量的坐标运算计算即可.

详解：解：，0，，，1，，

，0，，1，

，，，

故答案为：，，.

3．【答案】垂直

【解析】分析：由于，可知两个平面的法向量垂直，所以可得两个平面也垂直

详解：因为，

所以 ，

所以，

因为平面与向量垂直，平面与向量垂直，

所以

故答案为：垂直

4．【答案】3     

【解析】设，利用数量积公式得出，由平行四边形法则得出，，利用数量积公式计算，由模长公式计算.

【详解】

设，

则由题意得：

故答案为：3；

【点睛】

本题主要考查了空间向量的数量积以及模长的求法，属于中档题.

5．【答案】1;    . 

【解析】（1）把代入化简整理即可（2）代入计算

详解：解：

取的中点，

又，空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为

故答案为： ；

【点睛】

考查空间向量的基本运算，基础题.

6．【答案】2或

【解析】分析：由题意先得然后两边平方,根据数量积的运算求解即可．

详解：，．同理．

在三棱锥中，与成角，

或．

又，

或，

或|BD|=，

故答案为2或．

【点睛】

在空间中，求两点间距离或某一线段的长度时，一般用向量的模来解决，通过向量数量积的运算可得所求结果．在本题中容易出现的错误是误认为，而忽视另一种情形．

7．【答案】0     

【解析】根据题意作出图象，将转化为以点出发的向量，进而可得，根据的取值范围即可求出.

详解：如图所示，

设已知的正八面体为，易知平面于球心，且为正方形的中心，设球与正四棱锥的侧面相切于点为的中点，连接，则，，

由，得，即正八面体的内切球的半径为，

所以

，

因为为正八面体表面上的任意一点，所以，所以，

所以的最小值是0，最大值是.

故答案为：0；.

【点睛】

本题考查了空间内的向量点乘问题，将其转化为从O点出发的向量，利用立体几何知识求出相切时的长度，继而算出取值范围，本题的难点在于向量的转化上，同时也是解题的方法．

8．【答案】3

【解析】分析：以为原点，以分别为轴， 轴，轴正方向建立空间直角坐标系，设，根据，则，可得，从而点在底面内的轨迹为一条线段,从而可得答案.

详解：以为原点，以分别为轴， 轴，轴正方向建立空间直角坐标系，

则，设，则

，

由，则，即，则

当时，,设

所以点在底面内的轨迹为一条线段,

所以，则

又二次函数的对称轴为，当时，当时，有最大值3.

故答案为：3

【点睛】

关键点睛：本题考查根据垂直关系得出动点的轨迹从而求线段的长度的最值，解答的关键是建立坐标系，利用向量根据，则，可得，从而点在底面内的轨迹为一条线段，可得，从而可出答案，属于中档题.

9．【答案】

【解析】由题意得出，由此可得出，解出实数．的值，由此可得出的值.

【详解】

，，且，，，解得，.

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用直线与平面垂直求参数，将问题转化为直线的方向向量与平面法向量共线，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.

10．【答案】0    1 

【解析】由向量模的坐标公式运算可求得，再由向量数量积的坐标运算计算出数量积。

【详解】

由题意，解得，

。

故答案为：0；1。

【点睛】

本题考查空间向量模的坐标运算，考查数量积的坐标运算，属于基础题。

11．【答案】

【解析】详解：如图：

连结，则，所以即为异面直线与所成角，设，则，，，，，由余弦定理得

12．【答案】30°     

【解析】利用空间向量法求出线面角及点面距；

详解：解：∵，，，，∴，，．

设平面ABC的法向量为，

则取，得

设直线AD与平面ABC所成的角为，则．

又，∴，∴直线AD与平面ABC所成的角为30°．

点D到平面ABC的距离．

故答案为：；；

【点睛】

本题考查空间向量的应用，线面角及点面距的计算，属于基础题.

13．【答案】

【解析】分析：由可求得．

详解：因为，所以，．

故答案为：．

【点睛】

本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题．

14．【答案】

【解析】先由空间向量的基本定理，将向量用一组基底表示，再利用向量数量积的性质，计算即可

详解：∵六面体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体，

∵=++

∴=（++）2=+++2+2+2

又∵∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=60°，AD=4，AB=3，AA1=5，

∴=16+9+25+2×5×4×cos60°+2×5×3×cos60°+2×3×4×cos60°=97

∴

故答案为

【点睛】

本题考察了空间向量的基本定理，向量数量积运算的意义即运算性质，解题时要特别注意空间向量与平面向量的异同

15．【答案】

【解析】分析：先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并点Q的坐标.

详解：解：因为点Q在直线OP上运动，

所以，则，则

则，

所以

当时，取最小值，此时

故答案为：

【点睛】

本题考查空间向量数量积的坐标表示，利用空间向量共线表示点的坐标，是基础题.