北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和巩固练习

【精编】2.2 等差数列的前n项和课堂练习

一．填空题

1．设 ，数列满足，，将数列的前100项从大到小排列得到数列，若，则k的值为______；

2．等差数列中，，，，则_____

3．和2的等差中项的值是______.

4．已知数列满足，且，若，则正整数k=__________.

5．已知等差数列满足，则________．

6．已知等差数列中，，则=_____；

7．求值：=______．

8．若数列{an}满足a11=，-=5（n∈N），则a1=______ ．

9．已知等差数列中，，，则该等差数列的公差的值是______.

10．已知等差数列中，，那么         ．

11．已知数列满足：，且，若对任意的，不等式恒成立，则实数的范围为________

12．已知数列是等差数列，若，则__________．

13．己知数列满足,数列的通项公式为___________.

14．已知．都是等差数列，若，，则______．

15．已知在等差数列中，，，则______．

16．已知各项都为正数的等差数列中，，则的最大值为_________.

17．已知数列满足，，且（），则数列的通项公式_______.

18．若数列为等差数列，且，则           .

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据递推公式利用数学归纳法分析出与的关系，然后考虑将的前项按要求排列，再根据项的序号计算出满足的值即可.

【详解】

由已知，a1＝a，0＜a＜1；并且函数y＝ax单调递减；

∵

∴1>a2＞a1

∴，

∴a2＞a3＞a1

∵，且

∴a2＞a4＞a3＞a1

当为奇数时，用数学归纳法证明，

当时，成立，

设时，，

当时，因为，结合的单调性，

所以，所以即，所以时成立，

所以为奇数时，；

当为偶数时，用数学归纳法证明，

当时，成立，设时，，

当时，因为，结合的单调性，

所以，所以即，所以时成立，

所以为偶数时，；

用数学归纳法证明：任意偶数项大于相邻的奇数项即证：当为奇数，，

当时，符合，设时，，

当时，因为，结合的单调性，

所以，所以，所以，所以时成立，

所以当为奇数时，，

据此可知：，

当时，若，则有，此时无解；

当时，此时的下标成首项为公差为的等差数列，通项即为，

若，所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列与函数的综合应用，难度较难.

(1)分析数列的单调性时，要注意到数列作为特殊的函数，其定义域为；

(2)证明数列的单调性可从与的关系入手分析.

2．【答案】6

【解析】将代入等差数列通项公式中,求得,即得到通项公式,再将代入通项,求得即可

【详解】

设,,,

通项公式为,当时,即,

故答案为：6

【点睛】

本题考查定义法求等差数列通项公式,考查等差数列的某一项,属于基础题

3．【答案】

【解析】根据等差中项性质求解即可

【详解】

设等差中项为，则，解得

故答案为：

【点睛】

本题考查等差中项的求解，属于基础题

4．【答案】23

【解析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果．

【详解】

解：数列{an}满足a1＝15，且3an+1＝3an﹣2，整理得（常数），

所以数列{an}是以a1＝15为首项，为公差的等差数列．

则，

由于akak+1＜0，则0，

解得，

所以正整数k＝23.

故答案为：23.

【点睛】

本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用．数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

5．【答案】4

【解析】先根据等差数列性质求，再根据对数运算性质求结果.

【详解】

因为为等差数列，所以，

因为，

所以

故答案为：4

【点睛】

本题考查等差数列性质以及对数运算性质,考查基本分析求解能力，属基础题.

6．【答案】234

【解析】根据等差数列中等差中项的定义,结合条件可求得,进而可求得.

【详解】

因为数列是等差数列

由等差中项定义可知,

所以

而

故答案为:234

【点睛】

本题考查了等差数列中等差中项的定义及简单应用,属于基础题.

7．【答案】

【解析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．

【详解】

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查求数列的极限，熟记极限的运算法则即可，属于基础题型．

8．【答案】

【解析】根据,可得 是以5为公差的等差数列,由等差数列的通项公式可得.

【详解】

因为,所以 是以5为公差的等差数列,

所以,

所以,

所以,

所以.

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式,属基础题.

9．【答案】

【解析】根据等差数列的通项公式即可求解

【详解】

故答案为：

【点睛】

本题考查等差通项基本量的求解，属于基础题

10．【答案】

【解析】由等差数列知,故,所以.故答案应填.

考点：1.等差数列的性质；2.特殊角的三角函数值.

11．【答案】或

【解析】先求出数列的通项公式，再求出其最大值，然后求出在上的最小值，即可解不等式组求出．

【详解】

由得，，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．所以，即，

因为在上单调，所以，

因此可得即，解得或．

故答案为：或．

【点睛】

本题主要考查数列通项公式的求法．数列最大项的求法，不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．

12．【答案】

【解析】先设等差数列的公差为，根据题意求出公差，即可得出结果.

【详解】

设等差数列的公差为，因为，

所以，即，

因此.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记等差数列的通项公式即可，属于基础题型.

13．【答案】

【解析】把化为，利用累加法和裂项相消法可求通项公式.

【详解】

因为，所以，

两边同时除以得到，

整理得到：即

，

累加得到即，

所以，其中，

又时，符合，故数列的通项公式为，故填.

【点睛】

给定数列的递推关系求数列的通项时，我们常需要对递推关系做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系．变形方法及求法如下：

（1），用累加法.

（2），取倒数变形为，为等差数列，利用公式可求的通项公式，从而可求的通项公式.

（3），变形为，利用累加法可求的通项公式，也可以变形为，利用等比数列的通项公式求的通项公式，两种方法都可以得到的通项公式.

14．【答案】21.

【解析】由等差数列的性质可知，代入即可求解

【详解】

解：∵．都是等差数列，

若，，

又∵，

，

故答案为：21.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题

15．【答案】2019.

【解析】根据等差数列基本性质，，若则，可知，即可求解.

【详解】

因为，，，所以．

故答案为：2019.

【点睛】

本题考查等差数列的基本性质，属于容易题.

16．【答案】9

【解析】因为等差数列各项都为正数，利用可求其最大值．

【详解】

解：依题意，等差数列各项都为正数，

所以，

所以．

当且仅当时等号成立．

故答案为：9.

【点睛】

本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题．

17．【答案】

【解析】化简题设条件得到，得出数列是以为首项，为公差的等差数列，求得则，再利用叠加法，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，数列满足（），

两侧同除，可得，即，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

则，

所以

（），

当时，适合上式，

所以，所以数列的通项公式.

【点睛】

本题主要考查了等差数列定义及通项公式，以及“叠加法”的应用，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式，合理利用“叠加法”求解是解答的关键，求得着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

18．【答案】

【解析】设出等差数列的公差，由已知求得公差，然后求等差数列的前n项和后代入得答案．

【详解】

设等差数列{an}的公差为d，由a1＝1，a2+a3+a4＝21，得

3a1+6d＝21，即3+6d＝21，d＝3.

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了等差数列的性质，考查了数列极限的求法，是基础题．