数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示一课一练

课时跟踪检测 （十一） 余弦定理

层级(一)　“四基”落实练

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　　)

A．30°　　　　　　　　　 B．45°

C．60°  D．90°

解析：选C　∵a＝，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cos A＝＝＝，又由A∈(0°，180°)，得A＝60°，故选C.

2．在△ABC中，cos C＝－，BC＝1，AC＝5，则AB＝        (　　)

A．4  B．

C.  D．2

解析：选A　在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，

∴AB＝＝4.

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC     (　　)

A．一定是锐角三角形   B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形  D．是锐角或直角三角形

解析：选C　由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．

4．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝(2＋)bc，则角A等于     (　　)

A．30°   B．60°

C．120°  D．150°

解析：选A　∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝(2＋)bc，

∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝，

∴A＝30°.

5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b<c，则                                                                                                                               (　　)

A．b＝2  B．b＝2

C．B＝60°  D．B＝30°

解析：选AD　由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝0⇒(b－2)(b－4)＝0，由b<c，得b＝2.又a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°，故选A、D.

6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.

解析：∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.

答案：0 

7．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是______．

解析：设中间角为θ，则θ为锐角，cos θ＝＝，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．

答案：120°

8．(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求c；

(2)在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．

解：(1)∵sin C＝，且0<C<π，∴C＝或.

当C＝时，cos C＝，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，

∴c＝2.当C＝时，cos C＝－，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝28，∴c＝2.综上所述，c的值为2或2.

(2)由余弦定理知cos A＝，

cos B＝，cos C＝，代入已知条件，得

a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，

展开整理得(a2－b2)2＝c4.

∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.

根据勾股定理知△ABC是直角三角形．

层级(二)　能力提升练

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为                                                                                                                              (　　)

A．7.5  B．7

C．6  D．5

解析：选D　∵bcos A＋acos B＝c2，∴由余弦定理可得b·＋a·＝c2，整理可得2c2＝2c3，解得c＝1，则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5.

2．在锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是       (　　)

A．1<a<3  B．1<a<5

C.<a<  D．不确定

解析：选C　若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，

∴a<；若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>，故<a<.故选C.

3．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是_______．

解析：cos B＝＝＝＋≥.∵0<B<π，∴B∈.

答案：

4．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.

(1)求b，c的值；

(2)求sin(B＋C)的值．

解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2，

所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，

解得c＝5，所以b＝7.

(2)因为cos A＝＝，

所以sin A＝＝.

在△ABC中，B＋C＝π－A，

所以sin(B＋C)＝sin A＝.

5.如图所示，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，求cos∠ACB的值．

解：因为sin＝，

所以cos∠ABC＝1－2sin2

＝1－2×2＝1－2×＝.

在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，

由余弦定理可得9b2＝a2＋4－a.①

在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得

cos∠ADB＝，cos∠BDC＝.

因为cos∠ADB＝－cos∠BDC，

所以＝－，所以3b2－a2＝－6.②

由①②可得a＝3，b＝1，则BC＝3，AC＝3，

所以cos∠ACB＝＝＝.

层级(三)　素养培优练

1.2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国，作为主要战场的武汉，仅用了十    余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院，再次体现了中国速度．随着疫情发展，某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院，其占地是一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400 m的等腰三角形组成的图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：选D　设顶角为α，由三角形的面积公式可得4个等腰三角形的面积和为4××400×400sin α，由余弦定理可得正方形边长为＝400，故正方形面积为160 000(2－2cos α)＝320 000(1－cos α)，所以所求占地面积为320 000(1－cos α＋sin α)＝320 000，故当α－＝，即α＝时，占地面积最大，此时底角为＝.

2．已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.

(1)求证：acos B＋bcos A＝c；

(2)在①＝，②ccos A＝2bcos A－acos C，③2a－＝，这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答，若a＝7，b＝5，______，求△ABC的周长．

解：(1)证明：根据余弦定理：acos B＋bcos A＝a·＋b·＝＝c，所以acos B＋bcos A＝c.

(2)选①：因为＝，所以2c·cos A＝bcos A＋acos B，所以由(1)中所证结论可知，2ccos A＝c，即cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝；选②：因为ccos A＝2bcos A－acos C，所以2bcos A＝acos C＋ccos A，由(1)中的证明过程同理可得，acos C＋ccos A＝b，所以2bcos A＝b，即cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝；

选③：因为2a－b·＝c·，所以2acos A＝bcos C＋ccos B，由(1)中的证明过程同理可得，bcos C＋ccos B＝a，所以2acos A＝a，即cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.选①或选②或选③中的任一条件，都可得A＝.

在△ABC中，由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋c2－10c·＝49，即c2－5c－24＝0，解得c＝8或c＝－3(舍去)，所以a＋b＋c＝7＋5＋8＝20，即△ABC的周长为20.