2022-2023学年山东省青岛市青岛第十九中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省青岛市青岛第十九中学高一上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省青岛市青岛第十九中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解出集合和取交集即可.【详解】，，所以.故选：A2．若“x>1或x<-2”是“x<a”的必要条件，则a的最大值是（　　）A．2 B．-2 C．-1 D．1【答案】B【分析】由必要不充分条件的定义结合数轴即可求解【详解】∵“x>1或x<-2”是“x<a”的必要不充分条件，∴x<a⇒x>1或x<-2，但x>1或x<-2x<a.如图所示，∴，∴a的最大值为-2.故选：B3．下列四组函数中，与表示同一函数的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据函数的定义：判断定义域是否相同，定义域相同时，对应法则是否相同，由此可得结论．【详解】四个选项中函数的定义域都是实数集，AC选项中函数的定义域是，D选项迥函数定义域是，定义域不相同，不是同一函数，B选项定义域是，根据绝对值的定义知对应法则也相同，是同一函数．故选：B．4．已知幂函数的图象过点，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】待定系数求得幂函数解析式，再求对数运算的结果即可.【详解】设幂函数为，由题意得，，∴故选：A．【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，涉及对数运算，属综合简单题.5．南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由公式列出面积的表达式，代入，然后利用基本不等式可求得结果【详解】由题意得，则，当且仅当，即时取等号，所以三角形面积的最大值为.故选:B6．若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】D【详解】通过讨论化简不等式，结合函数的单调性解不等式即可.【分析】因为函数在R单调递增，且，所以当时，，不等式可化为，所以，当时，，不等式可化为，所以满足条件的不存在，当时，，不满足关系，所以满足的x的取值范围是，故选：D.7．已知，其中a，b为常数，若，则（    ）A．4042 B．2024 C．－4042 D．－2024【答案】A【分析】构造奇函数，求出，利用奇函数定义求得，然后可得．【详解】令，则，为奇函数，又，所以，则，所以，故选：A.8．下列大小关系不正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性即可判断.【详解】A选项：，，因为，又因为指数函数在R上单调递增，所以，即，故A正确；B选项：，因为，；又因为指数函数在R上单调递减，所以，故B正确；C选项：因为，，所以，故C错误；D选项：因为，，所，故D正确；故选:C. 二、多选题9．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性可得答案.【详解】，是偶函数，且在上单调递增是奇函数，在上单调递减故选：AC10．设为非零实数，且，则下列不等式恒成立的是（   ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】对于A，取特殊值进行判断；对于B，取特殊值进行判断；对于C，利用作差法比较；对于D，利用作差法比较；【详解】对于A，当时，，但，故A中不等式不一定成立；对于B，当时，，但，故B中不等式不一定成立；对于C，，，故C中不等式恒成立；对于D，，，，又，，故D中不等式恒成立.故选：CD11．下列说法正确的是（    ）A．函数且的图象恒过定点(1，-1)B．若则的充要条件是C．函数的最小值为 6D．函数的单调递增区间为【答案】AD【分析】根据指数函数的性质可判断A的正误；根据充分条件和必要条件的定义即可判断B的正误；利用基本不等式可判断C的正误；根据复合函数“同增异减”的原则可判断D的正误.【详解】对于A，，故的图象恒过，故A正确；对于B，当时，，则由不能推出，所以“”的充要条件不是“”，故B错误；对于C，，令，所以，因为（当且仅当即时，取等号，因为，故等号取不到），所以函数的最小值不为6，故C错误；对于D，由可得，令，因为为减函数，而在上为增函数，在上为减函数，故在上为增函数，在上为减函数，故在上为减函数，在上为增函数，故D正确.故选：AD.12．已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的范围可以是下面选项中的（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据条件可得，函数为偶函数，在上单调递减.根据单调性与奇偶性的关系可得，函数在上单调递增，进而可推出恒成立.对是否为0进行讨论，利用基本不等式即可求得实数的范围.【详解】由已知可得，函数为偶函数，又对于，当时，恒成立，即，若，都有成立，则在上单调递减，又函数为偶函数，则在上单调递增.又对任意的恒成立，则可得.当时，不等式为显然成立；当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可.因为，当且仅当，即时，等号成立.所以，，解得.综上所述，实数的范围是.故选：ABC. 三、填空题13．函数的定义域为__________．【答案】【分析】根据题意列出简单不等式，求解即可.【详解】要使得函数有意义，则，且，解得：且，即的定义域为：.故答案为：.14．已知函数，则_________．【答案】【分析】代入分段函数逐步求解即可求出结果.【详解】因为，所以，因此.故答案为：.15．已知函数，若在上单调递减，则的取值范围为______．【答案】【分析】由题意可得，解不等式组即可得出答案.【详解】由题意得,即，解得：．所以的取值范围为.故答案为：.16．对于函数，若在定义域存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】根据“局部奇函数”的定义便知，若函数是定义在上的“局部奇函数”，只需方程有解．可设，从而得出方程在时有解，从而设，由二次函数的性质分析可得答案．【详解】根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数是定义在上的“局部奇函数”，则方程有解，即有解；变形可得，即有解即可.设，则，当且仅当时，等号成立.则方程等价为在时有解.设，若方程的两根分别为、，则，所以，，解可得：，即的取值范围为．故答案为：．【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题17．计算：(1)．(2)．【答案】(1)．(2)． 【分析】利用指数、对数的运算性质可得解.【详解】（1）（2）.18．已知函数，．(1)当时，求函数的最大值和最小值；(2)求函数在区间上的最小值．【答案】(1)，．(2) 【分析】（1）利用二次函数的性质即可求出函数的最大值和最小值.（2）根据二次函数对称轴，开口方向，分类讨论指定区间上的单调性，进而求出最小值【详解】（1）当时，，∵，∴，．（2）∵函数的对称轴为，当时，即，由二次函数性质可得为最小值，；当时，即，为最小值，；当时，即，取最小值，.综上所述，在区间上的最小值.19．已知幂函数在上单调递增，(1)求实数的值；(2)当记的值域分别是集合，设命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】(1);(2). 【分析】(1)根据幂函数的性质求解即可；(2)分别求出函数的值域，即可得集合，由是的充分不必要条件可得,再由集合的包含关系求解即可.【详解】（1）解：因为幂函数在上单调递增，所以，解得；（2）解：因为，当的值域为，所以；，开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，，所以的值域为：，所以；又因为命题是命题的充分不必要条件，所以,所以，解得，所以实数的取值范围是.20．已知函数是奇函数（a为常数）（1）求的值；（2）解不等式【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据是R上的奇函数，由求解. （2）由，转化为求解.【详解】（1）因为是R上的奇函数，则所以所以    （2），所以，   解得，所以不等式的解集为．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用以及指数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知二次函数．(1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围：(2)解关于x的不等式（其中）．【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）不等式化为，利用分离常数法得出，求出右边函数的最小值，即可得出实数的取值范围；（2）不等式化为，讨论的取值，从而求出对应不等式的解集．【详解】（1）解：（1）不等式即为：，即，当时，可变形为：，即，又，当且仅当，即时，等号成立，，即，实数的取值范围是：；（2）不等式， 等价于，即，①当时，不等式整理为，解得：；当时，方程的两根为：，，②当时，可得，解不等式得：或；③当时，因为，解不等式得：；④当时，因为，不等式的解集为；⑤当时，因为，解不等式得：；综上所述，不等式的解集为：①当时，不等式解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式解集为；④当时，不等式解集为；⑤当时，不等式解集为．22．函数（，且）对任意非零实数，，恒有．(1)求及的值；(2)判断并证明函数的奇偶性；(3)若，判断并证明f(x)在（0，+∞）上的单调性；(4)求不等式的解集．【答案】(1)；(2)函数是偶函数；证明见解析(3)f(x)在（0，+∞）上单调递增；证明见解析(4)且且 【分析】(1)直接将和分别代入，即可求解结果.(2)取，代入，再根据奇偶性的定义判定即可.(3)利用和函数单调性定义证明可构造出，进而判断单调性.(4)结合2和3问的单调性和奇偶性可大致确定图像，并将转化为，再结合图像和定义域求解出的取值范围【详解】（1）对任意非零实数，恒有，∴令，代入，得，解得令，代入得，可得．（2）取，，代入得又函数的定义域为∴函数是偶函数．（3），∈（0，+∞），且．则，．，，f(x)在（0，+∞）上单调递增．（4）由2和3问的结论，可大致确定函数图像，，，结合图像可得出，解得且且，所以的解集为且且