2022-2023学年山东省青岛市即墨区实验高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省青岛市即墨区实验高级中学高一上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省青岛市即墨区实验高级中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合A，B和全集U={1，2，3，4}，且A={1，2，3}，B={3，4}，则（    ）A．{4} B． C．{3，4} D．{3}【答案】A【分析】求出，再求交集即可.【详解】因为，，所以.故选：A.2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】原命题为特称命题，根据特称命题的否定是全称命题进行否定即可.【详解】命题“有些实数的绝对值是正数”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定应该是“所有实数的绝对值都不是正数”，即，.故选：C.【点睛】本题考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，属于基础题.3．已知命题“，使得”是真命题，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可知：不等式对应的二次函数开口向上，若命题“，使得”是真命题，则相应的二次方程有不等的实根,利用判别式即可求解.【详解】因为命题“，使得”是真命题，所以方程有两个不等的实数根，所以，解得：或，故选：.4．已知函数 ，若，实数（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先求得，再由，即可求得答案.【详解】由题意可得，故，故选：B.5．设命题甲：|x－2|＜3，命题乙：，那么甲是乙的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为命题甲：|x－2|＜3，解得：，命题乙：,所以乙甲且甲推不出乙，甲是乙的必要而不充分条件，故选:．6．已知，则A． B． C． D．【答案】B【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．7．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算面发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系，对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻. ，，，估计的值约为（    ）A．0.1654 B．0.2314 C．0.3055 D．0.4897【答案】C【分析】根据指数与对数式的互化，可得x的表达式，利用对数运算，结合已知可求得答案.【详解】由可得，即,故选：C.8．已知定义在上函数，对任意的，且，都有，若函数为奇函数，且，则（    ）A． B．C． D．的值与0的大小关系不确定【答案】C【分析】根据题意，先求出函数的单调性和对称中心，然后已知条件进行转化，进而求出结果.【详解】由题意可知：定义在上函数，且，都有，则在区间上单调递减，又因为函数为奇函数，则，当时，则，也即，又因为函数关于原点对称，则函数的图象关于点对称，所以函数在上单调递减，因为，设，则，则有，又因为，则，故选：. 二、多选题9．已知集合，且，则的可能取值有（    ）A．1 B． C．3 D．2【答案】AC【解析】利用，可得或，解出的值代入集合验证满足元素互异性即可.【详解】因为，所以或，解得：，或，，当时，，符合题意，当时，，符合题意，当时，，不满足元素互异性，不成立所以或，故选：AC【点睛】本题主要考查了元素的确定性和互异性，属于基础题.10．已知是实数，则下列一定正确的有（    ）A．若，则B．若，，则C．，，若，则D．，，若，则【答案】BC【分析】根据不等式的性质，结合特殊值，对每个选项进行逐一分析即可选择.【详解】对A：当时，满足，但不满足，故A错误；对B：若，，则，故可得，故B正确；对C：因为为上的单调函数，故当时，一定有，故C正确；对D：若，没有意义，故D错误.故选：BC.11．已知可用列表法表示如下: 若，则可以取（       ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据所给函数关系一一代入计算可得；【详解】解：当时，，故不适合;当时，适合;当时，适合;当时，适合，所以或或.故选：BCD12．下列说法正确的有（    ）A．若，则的最大值是B．若，，都是正数，且，则的最小值是3C．若，，，则的最小值是2D．若实数，满足，则的最大值是【答案】ABD【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用换元法，设，，可将原式化简为，结合基本不等式，可得答案．【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故A正确；对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，，所以，当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；对于C，因为，，所，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；对于D，，设，，∵，当且仅当，即时，取等号∴则的最大值为，故D正确．故选：ABD. 三、填空题13．已知集合，则 __________．【答案】【分析】解方程组，即可得.【详解】联立，解得或，故.故答案为：.14．设，则的值为________．【答案】【分析】根据对数运算性质化简求值即可.【详解】，.故答案为：.15．若函数在上单调递减，则的取值范围是______.【答案】【分析】根据二次函数和一次函数的单调性分类讨论求解即可.【详解】当时，，显然该函数在上单调递减；当时，该函数的对称轴为：，要想该函数在上单调递减，只需满足，综上所述：的取值范围是，故答案为： 四、双空题16．已知函数，若，则的值域是_________；若的值域是，则参数的取值范围是_________.【答案】     ；     .【分析】第一空，根据分段函数的解析式，分段求解函数值的范围，取并集可得答案;第二空，结合二次函数的性质，根据题意得到参数需满足的不等式，求得答案.【详解】当时，，当时，，当时，，故的值域是；若的值域是，因为时，，因为时，，故需满足 ， 又因为需满足 ，则，故参数的取值范围是，即，故答案为：;. 五、解答题17．（1）；（2）.【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）根据指数幂的运算法则，化简计算，可得答案；（2）根据对数的运算法则，化简计算，可得答案.【详解】（1） ；（2） .18．已知集合 ，.(1)若，求；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）确定集合,求得集合B,以及其补集，根据交集运算即可求得答案;（2）根据是的充分不必要条件，可得,从而可得关于m的不等式，求得答案.【详解】（1）当时， ，或 ，则，故；（2）若是的充分不必要条件，则,故 ，即实数的取值范围是.19．函数是定义在上的奇函数，已知当时，；(1)求函数的解析式并画出函数图象，根据图像写出函数的单调增区间；(2)若方程有3个相异的实数根，求实数的取值集合；(3)求不等式的解集.【答案】(1)见解析(2)或或；(3)或； 【分析】（1）利用奇函数的定义即可求解析式，从而可得函数的图象，利用图象即可得单调增区间；（2）问题转化为函数与的图象有3个交点，结合图象即可求解；（3）对分类讨论，求出不等式的解集，再求并集即可【详解】（1）当时，，令，则，则，又函数是定义在上的奇函数，所以，所以，又，所以函数的解析式为，作出函数的图象如下：由图象可知：函数的单调增区间为和；（2）若方程有3个相异的实数根，则函数与的图象有3个交点，由图象可知或或，所以实数的取值集合是或或；（3）当时，不等式即为，即，解得；当时，不等式即为，显然不成立；当时，不等式即为，即，解得；综上，不等式的解集为或；20．已知.(1)若的解集为 ，求实数、的值；(2)求关于的不等式的解集.【答案】(1)；(2)答案见解析. 【分析】（1）根据不等式的解集可确定相应的方程的两根，根据根与系数的关系列出等式，求得答案;（2）化简，确定相应方程的根，分类讨论，确定不等式的解集.【详解】（1）由题意的解集为，可得1和n是方程的两实数解，且 ，则，解得；（2）关于的不等式，即，即，即，当时，，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.21．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1);(2)100（百辆），2300万元. 【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案.【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，所以利润  ,故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .（2）当时，，故当时，；当时，,当且仅当， 即时取得等号；综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．22．对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即(1)设函数，求A和B；(2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论；(3)若，且，求实数a的取值范围.【答案】(1)，；(2)，证明见解析；(3). 【分析】（1）根据不动点、稳定点定义，令、求解，即可得结果；（2）问题化为与有交点，根据交点横纵坐标的关系知，即可证.（3）问题化为有实根、中无实根，或与有相同的实根，求参数a范围.【详解】（1）令，可得，故；令，可得，故.（2），证明如下：由题意，不动点为与的交点横坐标，稳定点为与的交点横坐标，若与有交点，则横纵坐标相等，则，所以.（3）由，则：令，即有实根，当时，，符合题设；当时，，可得.令，即有实根，所以，因为，则无实根，或有与相同的实根，当无实根，有且，可得且；当有实根，此时，即，所以，则，代入得：，可得.综上，.【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为、与的交点理解，注意交点横纵坐标性质；第三问，化为有实根、中无实根或与的实根相同.