2022-2023学年江苏省南通市启东中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省南通市启东中学高一上学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南通市启东中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．对于全集的子集，，若是的真子集，则下列集合中必为空集的是（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题目给出的全集是，，是全集的子集，是的真子集画出集合图形，由图形表示出三个集合间的关系，从而看出是空集的选项．【详解】解：集合，，的关系如图，由图形看出，只有是空集．故选：B．【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题.本题解题的关键在于根据题意，给出集合的图形表示法，数形结合解．2．已知集合，且，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合元素与集合的关系得到，解不等式即可求出结果.【详解】由题意可得，解得，故选：C3．已知实数，满足，，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，，可得，再根据的范围求解即可.【详解】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以.故选：B4．因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（    ）A．甲方案 B．乙方案 C．一样 D．无法确定【答案】B【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得.【详解】设两次加油的油价分别为，（，且），甲方案每次加油的量为；乙方案每次加油的钱数为，则甲方案的平均油价为：，乙方案的平均油价为：，因为，所以，即乙方案更经济．故选：B．5．若a为实数，则“”是“为奇函数的”（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据函数的的偶性的定义及判定方法，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】当时,函数的定义域为关于原点对称，且，即，此时函数为奇函数，所以充分性成立；反之：当，则满足，即，即，解得，所以必要性不成立.综上可得，是函数为奇函数的充分不必要条件.故选：A.6．若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ）A．， B． C．， D．【答案】D【分析】由题意是上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，列出不等式组求出的取值范围即可.【详解】根据题意，任意实数都有成立，所以函数是上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，所以，解得：，所以实数的取值范围是：,.故选：D.7．已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图象关于轴对称，则（    ）A．是奇函数 B．是偶函数C．关于点对称 D．关于直线对称【答案】A【分析】根据函数，的奇偶性可推出以及的对称性，结合与的图象关于轴对称，推出的奇偶性以及对称性，判断A,C;同理推得的奇偶性以及对称性，判断B,D.【详解】由于是定义域为的奇函数，则的图象关于成中心对称，是定义域为的偶函数，则的图象关于对称，因为与的图象关于轴对称，则的图象关于对称，又的图象关于成中心对称，则的图象关于成中心对称，故为奇函数，A正确；因为为奇函数，故，由与的图象关于轴对称，可得，故 ，故为奇函数，B错误；由A的分析可知的图象关于对称，故C错误；由A的分析可知的图象关于成中心对称，为奇函数，则的图象也关于成中心对称，而与的图象关于轴对称，则的图象关于成中心对称，故D错误，故选：A【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性以及对称性的应用，对抽象函数的性质的考查能较好地反映学生的思维能力和数学素养，解答时要注意综合应用函数性质的相关知识解答.8．已知函数的定义域为区间[m，n]，其中，若f（x）的值域为[-4，4]，则的取值范围是（    ）A．[4，4] B．[2，8] C．[4，8] D．[4，8]【答案】C【分析】先讨论，再结合二次函数的图象与性质分析时，的最大值与最小值，同理可得时的情况即可得解.【详解】若，，函数为增函数，时，则，所以，当时，作图如下，为使取最大，应使尽量大，尽量小，此时，由，即，所以，所以，即，当时，即时，此时在对称轴同侧时最小，由抛物线的对称性，不妨设都在对称轴右侧，则由，解得，，当且仅当 ,即时取等号，但，等号取不到，，时，同理，当时，，当时，，综上，的取值范围是，故选：C 二、多选题9．下列说法正确的是（    ）A．若，则“”是“”的必要不充分条件B．“”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件C．“”是“”的充分不必要条件D．若“”是“或“”的充分不必要条件，则的最小值为2022【答案】BD【分析】根据充分、必要条件逐个分析判断.【详解】对A：若，则，即若，比如：，则不成立∴“”是“”的充分不必要条件，A错误；对B：若，则，即二次方程有两个不等实根若二次方程有两个不等实根，等价于比如：满足，但不成立∴“”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件，B正确；对C：∵且则∴“”是“”的充要条件，C错误；对D：根据题意可得：，则的最小值为2022，D正确；故选：BD.10．设矩形（）的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则下列说法正确的是（    ）A．矩形的面积有最大值 B．的周长为定值C．的面积有最大值 D．线段有最大值【答案】BC【分析】根据基本不等式的性质，结合图形折叠的性质，结合对钩函数的性质逐一判断即可.【详解】设，则，因为，所以．矩形的面积，因为，所以无最大值．故A错．根据图形折叠可知与全等，所以周长为．故B正确．设，则，有，即，得，，当时，取最大值．故C正确．，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以当，当时函数有最小值，无最大值．故D错误．故选：BC．【点睛】关键点睛：利用基本不等式的性质、对钩函数的性质是解题的关键.11．已知，，则的值不可能是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用对数运算的公式计算即可.【详解】由换底公式得：，，，其中，，故故选：ABD.12．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C.【详解】由题设，的解集为，∴，则，∴，，则A、D正确；原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，∴由图知：，，故B错误，C正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误. 三、填空题13．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为______．【答案】1【分析】首先解出不等式，再根据题意得到，即可求出的取值范围，从而得解；【详解】解：由，得或，因为的必要不充分条件是“或”，所以，解得，所以实数a的最大值为1；故答案为：14．已知，，下面四个结论:①；②；③若，则；④若，则的最小值为；其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上)【答案】①③④【分析】①可以由得，然后变形可得是正确的，②可以由得，然后变形可得是错误的，③可以由不等式的性质推导出来，④是将展开由基本不等式推导出来.【详解】因为，所以即所以，故①正确因为所以所以，故②错误因为，所以因为，所以，故③正确因为，当且仅当即时取得最小值因为，所以即，故④正确故答案为：①③④【点睛】，时有15．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是__．【答案】．【分析】先将原不等式转化为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数的取值范围．【详解】不等式可化为，①当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；②当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；③当时，原不等式等价于，其解集为，其解集中恰有2个整数，，解得：；④当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；⑤当时，原不等式等价于，其解集为，其解集中恰有2个整数，，解得：，综合以上，可得：.故答案为：．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍． 四、双空题16．已知函数，那么___________若存在实数，使得，则的个数是___________.【答案】          【分析】求出的值，再计算的值；设，则，可求得或，再解方程或，可求得的值即可求解.【详解】因为，所以，所以，设，则，当时，，可得，当时，，可得，所以或，当时，由或可得或；当时，或，可得或（舍）或或，综上所述：，，，，，有个符合题意，故答案为：；. 五、解答题17．计算下列各式：(1)；(2)【答案】(1)(2) 【分析】（1）、利用指数幂的运算性质求解即可；（2）、利用对数的运算性质求解.【详解】（1）.（2）18．设集合，，或．(1)若，求实数m的取值范围；(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据集合交集的性质，可得两集合之间的关系，分类讨论是否为空集，列出不等式，可得答案；（2）由题意，明确交集中的唯一的整数，结合这个整数，列出不等式，可得答案.【详解】（1）因为，所以．①当时，由，得，解得；②当，即时，成立．综上，实数m的取值范围是．（2）因为中只有一个整数，所以，且，解得，所以实数m的取值范围是．19．已知命题，；命题，(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2)若命题与均为假命题，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据题意，可知命题为真命题，则且，即可求出的取值范围；（2）根据题意，分别求出和，由命题与均为假命题，可知和都是真命题，由是真命题，得或，由是真命题，得或，化简计算后， 可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：因为命题，，若命题为真命题，则且，即，解得：，所以实数的取值范围是.（2）解：因为命题，；命题，，则，，，，若命题与均为假命题，则和都是真命题，由是真命题，得或，解得：，由是真命题，得或，解得：，联立，得，所以实数的取值范围为.20．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1)(2)百辆，最大利润为万 【分析】（1）根据题意分情况列式即可；（2）根据分段函数的性质分别计算最值.【详解】（1）由题意得当时，，当时，，所以,（2）由（1）得当时，，当时，，当时， ，当且仅当，即时等号成立，，时，，，时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.21．设函数（且），是定义域为R的奇函数：，（1）求k的值，（2）判断并证明当时，函数在R上的单调性；（3）已知，若对于时恒成立．请求出最大的整数．【答案】（1）；（2）在R上为增函数；证明见解析；（3）10．【分析】（1）由，解得，再检验其成立；（2）利用定义法证明单调性；（3）用分离参数法求出，即可得到的最大整数值．【详解】（1）∵（且）是定义域为R的奇函数，∴，解得．此时，对任意，有，即是R上的奇函数，符合题意．故．（2）由（1）得．判断该函数为增函数.下面证明：设，且，则∵，且，∴，又∴，即，∴在R上为增函数．（3）由（1），不等式对于时恒成立，即，亦即不等式恒成立．令，则，问题转化为关于t的不等式对任意恒成立，亦即不等式，对任意恒成立．当时，，，则的最大整数为10．【点睛】（1）函数奇偶性的应用:①一般用或;②有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或.（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.22．已知二次函数满足对任意实数x，不等式恒成立.（1）求的值；（2）若该二次函数与x轴有两个不同的交点，其横坐标分别为､.①求a的取值范围；②证明：为定值.【答案】（1）2；（2）①；②证明见解析.【分析】(1)由取可求，(2)由恒成立，结合(1)可得a，b，c的关系，再由与x轴有两个不同的交点可求a的范围，并证明为定值.【详解】解：（1）对任意实数x，不等式恒成立.令得x=1令x=1，得2≤a+b+c≤2，∴a+b+c=2.（2）①当a+b+c=2时，，即恒成立，所以，所以.因为二次函数有两个不同的零点，所以，解得∴a的取值范围为②由韦达定理得，∴为定值.