专题5.13 应用二元一次方程组-鸡兔同笼（学案讲义）

专题5.13  应用二元一次方程组-鸡兔同笼（知识讲解）

【学习目标】

1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；

2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题.

【要点梳理】

要点一、常见的一些等量关系（一）

1.和差倍分问题：

年龄差不变

2.产品配套问题： 

解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.

3.和差倍分问题：

增长量＝原有量×增长率  较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.

要点二、实际问题与二元一次方程组

1.列方程组解应用题的基本思想

    列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

设：用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；

解：解方程组，求出未知数的值；

验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；

答：写出答案．

特别说明：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

【典型例题】

类型一、年龄问题

1．甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（    ）

A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁

C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁

【答案】A

【分析】设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁．乙是甲现在的年龄时，甲25岁，可列方程求解．

解：甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得：

即

由此可得，，

∴，即甲比乙大5岁．

故选：A．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，重点考查理解题意的能力，甲、乙年龄无论怎么变，年龄差是不变的．

举一反三：

【变式1】一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是___岁．

【答案】70

【分析】设爷爷是x岁，小民是y岁，根据题意描述的关系，得出二元一次方程组，求解即可．

解：设爷爷现在x岁，小民现在y岁，

根据题意：，

解得：，

故答案为：70．

【点拨】本题考查二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．

【变式2】7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：

妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．

哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．

根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？

【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．

【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，

根据题意得                       

解得                                     

答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．

类型二、分配问题

2．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：

今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？

译文为：

现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？

请解答上述问题．

【答案】共有7人，这个物品的价格是53元．

【分析】根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程.

解：设共有x人，这个物品的价格是y元，

解得

答：共有7人，这个物品的价格是53元.

【点拨】本题考查了二元一次方程的应用.

举一反三：

【变式1】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？

【答案】25人生产螺栓，35人生产螺母.

【分析】首先设x人生产螺栓，y人生产螺母刚好配套，利用工厂有工人60人，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，进而得出等式求出答案．

解：设x人生产螺栓，y人生产螺母刚好配套，据题意可得，

解之得，

答：25人生产螺栓，35人生产螺母刚好配套．

【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确得出等量关系是解题关键．

【变式2】食品安全是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人体无害而且有利于食品的储存和运输．为提高质量，做进一步研究，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共100瓶，需加入同种添加剂270克，其中A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，饮料加工厂生产了A、B两种饮料各多少瓶？

【答案】饮料加工厂生产了A种饮料30瓶，B种饮料70瓶．

解：试题分析：本题是二元一次方程组的应用，设甲种饮料瓶，乙种饮料瓶，根据题意列出方程组即可.

试题解析：

设甲种饮料瓶，乙种饮料瓶， 

由题意得 

解之得      

答：生产甲饮料40瓶，乙饮料60瓶．   

类型三、和差倍分题

3．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．

【答案】1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛．

【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．

解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，

则，

解得：，

答：1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛．

【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．

举一反三：

【变式1】2020年2月，“新冠”疫情日趋严重，“雷神山”医院急需新型救护车，某企业为了向医院捐献救护车，派人到汽车销售公司了解到，新型救护车共有A、B两种型号，2辆A救护车、3辆B型救护车的进价共计80万元；3辆A型救护车、2辆B型救护车的进价共计95万元．

（1）求A、B两种型号的救护车每辆进价分别为多少万元?

（2）若该企业计划正好用200万元购进以上两种型号的新型救护车（两种型号的救护车均购买），该企业共有哪几种购买方案．

（3）若该救护车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型救护车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，该汽车销售公司全部售出这些新型救护车，哪种方案获利最大？

【答案】（1）A型救护车每辆的进价为25万元，B型救护车每辆的进价为10万元；（2）共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆；（3）销售A型车2辆，B型车15辆获利最大

【分析】（1）设A型救护车每辆的进价为x万元，B型救护车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型救护车的进价共计80万元；3辆A型救护车、2辆B型救护车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购进A型救护车m辆，购进B型救护车n辆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论；

（3）利用总价=单价×数量，即可求出三种售车方案获得的利润，比较后即可得出结论．

解：（1）设A型救护车每辆的进价为x万元，B型救护车每辆的进价为y万元，

依题意，得：，

解得：，

答：A型救护车每辆的进价为25万元，B型救护车每辆的进价为10万元．

（2）设购进A型救护车m辆，购进B型救护车n辆，

依题意，得：25m+10n=200，

解得：m=8-n，

∵m，n均为正整数，

∴或或，

∴共3种购买方案，

方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；

方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；

方案三：购进A型车2辆，B型车15辆．

（3）方案一获得利润：8000×6+5000×5=73000（元）；

方案二获得利润：8000×4+5000×10=82000（元）；

方案三获得利润：8000×2+5000×15=91000（元）．

∵73000＜82000＜91000，

∴销售A型车2辆，B型车15辆获利最大．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价=单价×数量求出三种售车方案获得的利润．

【变式2】2020年新型冠状病毒肺炎在全球蔓延，口罩成了人们生活中的必备物资．某口罩厂现安排A、B两组工人共150人加工口罩，A组工人每人每小时可加工口罩70个，B组工人每人每小时可加工口罩50个，A、B两组工人每小时一共可加工口罩9300个．试问：A、B两组工人各多少人？

【答案】A组工人有90人，B组工人有60人

【分析】设A组工人有x人，B组工人有y人，根据A、B两组工人共150人每小时可加工口罩9300个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

解：设A组工人有x人，B组工人有y人，

依题意得：，

解得：．

答：A组工人有90人，B组工人有60人．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找出两个等量关系，然后列方程组．当然本题也可用一元一次方程来解决．

类型四、古代问题

4．《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少.请解答上述问题．

【答案】合伙买鸡者有9人，鸡的价格为70文钱

【分析】设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，根据“如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

解：设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，

根据题意得： ，

解得：

答：合伙买鸡者有9人，鸡的价格为70文钱．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

举一反三：

【变式1】《一千零一夜》中：有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？

【答案】树上原有7只鸽子，树下有5只鸽子．

解：本题考查的是方程组的应用

根据等量关系：若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多．即可列出方程组，解出即可．

设树上有只鸽子，树下有只鸽子，由题意得

，解得，

答：树上有只鸽子，树下有只鸽子．

【变式2】《九章算术》中有这样一道题，原文如下：“今有人共买鸡，人出九，盈十一，人出六，不是十六，问人数、鸡价各几何”意思为：有几个人共同出钱买鸡，每人出九钱，则多了十一钱；每人出六钱，则少了十六钱，那么有几个人共同买鸡？鸡的价钱是多少？请解答上述问题．

【答案】9人，70钱

【分析】设由x人共同买鸡，鸡的价格为y钱，根据“每人出九钱，则多了十一钱；每人出六钱，则少了十六钱”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程即可得出结论．

解：设有x人共同买鸡，鸡的价格为y钱

依题意得：

①－②得：，解得

把代入②中得：

故一共有9人买鸡，鸡的价钱是70钱．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．