2023届高考数学二轮复习7-3函数与导数学案含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习7-3函数与导数学案含答案，共20页。
第三讲　函数与导数——大题备考
对函数与导数大题的考查，多以对数函数、指数函数为载体，从含有参数的函数的单调性、极值、最值，曲线的交点等方面进行设计，解题时需要对参数分类讨论，往往比较复杂，难度较大．
微专题1　不等式恒(能)成立问题
提分题
例1[2022·山东菏泽一模]已知函数f(x)＝ex－1－ax.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)－x2≥a24对于任意x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
听课笔记：





例2[2022·河北张家口一模]已知函数f(x)＝axeax＋(a＋b)x，g(x)＝(1＋x)lnx.
(1)当a＝－b＝1时，证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)若对∀x∈(0，＋∞)，都∃b∈[－1，0]，使f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
听课笔记：





技法领悟
不等式恒成立(能成立)问题的解题策略
1．对于含参数的不等式，如果易分离参数，可先分离参数、构造函数，直接转化为求函数的最值；否则应进行分类讨论，在解题过程中，必要时，可作出函数图象草图，借助几何图形直观分析转化．
2．“恒成立”与“能成立”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．应特别关注等号是否取到，注意端点的取舍．

巩固训练1
1.已知函数f(x)＝xlnx＋ax＋2.
(1)当a＝0时，求f(x)的极值；
(2)若对任意的x∈[1，e2]，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．




2．已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，不等式f(x)≥12g(x)恒成立，求a的取值范围．






微专题2　零点问题
提分题
例3[2022·广东汕头三模]已知函数f(x)＝x－2sinx.
(1)求f(x)在(0，π)的极值；
(2)证明：函数g(x)＝lnx－f(x)在(0，π)有且只有两个零点．
听课笔记：






例4[2022·河北邯郸二模]已知函数f(x)＝x2ex－alnx，a≠0.
(1)若a＝1e，分析f(x)的单调性；
(2)若f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．
听课笔记：






技法领悟
1．函数零点个数问题的解题策略
(1)直接法：直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题．
(2)分离参数法：分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．
2．根据函数零点的个数求参数范围的方法
(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．

巩固训练2
1.已知函数f(x)＝x－alnx.
(1)当a＝1时，求f(x)在区间(0，e]上的最小值；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．









2．[2022·河北唐山二模]已知函数f(x)＝3xx+3，g(x)＝bsinx，曲线y＝f(x)和y＝g(x)在原点处有相同的切线l.
(1)求b的值以及l的方程；
(2)判断函数h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上零点的个数，并说明理由．













微专题3　不等式证明问题
提分题
例5[2022·河北沧州二模]已知函数f(x)＝xlnx-ax，a∈R.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：xf(x)＋e－x>－a.
听课笔记：






例6[2022·山东省实验中学模拟]已知函数f(x)＝1+lnxx.
(1)求函数y＝f(x)的最大值；
(2)若关于x的方程lnx＝xex－ex2＋kx－1有实数根，求实数k的取值范围；
(3)证明：ln222+ln332＋…＋lnnn20)．
(1)若a＝e，讨论f(x)的单调性；
(2)若x1，x2是函数f(x)的两个不同的零点，证明：1g(x).证明技巧：先将不等式f(x)>g(x)移项，即构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，转化为证不等式h(x)>0，再次转化为证明hxmin>0，因此，只需在所给的区间内，判断h′(x)的符号，从而判断其单调性，并求出函数h(x)的最小值，即可得证．
2．证明双变量函数不等式问题的策略
(1)将双变量中的一个看作变量，另一个看作常数，构造一个含参数的辅助函数证明不等式．
(2)整体换元．对于齐次式往往可将双变量整体换元，化为一元不等式．
(3)若双变量的函数不等式具有对称性，并且可以将两个变量分离开，分离之后的函数结构具有相似性，从而构造函数利用单调性证明．

巩固训练3
1.[2021·全国乙卷]设函数f(x)＝ln (a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点．
(1)求a；
(2)设函数g(x)＝x+fxxfx，证明：g(x)＜1.






2．[2022·河北张家口三模]已知函数g(x)＝alnx－(2a－2)x＋12x2(a∈R)在x＝1处取得极值．
(1)求a的值及函数g(x)的极值；
(2)设f(x)＝g(x)－t有三个不同的零点x1，x2，x3(x10)，则h′(x)＝ex－1>0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝0，
所以h(x)＝ex－(x＋1)>0，即ex>x＋1.
令φ(x)＝x－ln x(x>0)，则φ′(x)＝1－1x＝x-1x，所以φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且φ(1)＝1，所以φ(x)＝x－ln x≥1>0，
所以x>ln x.
所以当x∈(0，＋∞)时，有xex>x(x＋1)>(x＋1)ln x，
所以当x∈(0，＋∞)时，f(x)>g(x)．
(2)因为∃b∈[－1，0]，使f(x)≥g(x)恒成立，令φ(b)＝axeax＋(a＋b)x，
只需φ(b)max≥g(x)，即axeax＋ax≥(1＋x)ln x在x∈(0，＋∞)上恒成立，
整理得ax(eax＋1)≥(x＋1)ln x＝ln x(eln x＋1)．(*)．
设F(x)＝x(ex＋1)，则F′(x)＝ex(x＋1)＋1，设H(x)＝F′(x)＝ex(x＋1)＋1，
又H′(x)＝(x＋2)ex，可得x>－2时，H′(x)>0，H(x)单调递增；x0，则G′(x)＝1-lnxx2，令G′(x)＝0，解得x＝e.
当0e时，G′(x)0，则x∈(1e，＋∞)，令f′(x)0即ln x＋1>0，解得x>1e，
所以f(x)在(1e，＋∞)单调递增．
(2)对任意x∈(0，＋∞)，不等式f(x)≥12g(x)恒成立，即x ln x≥12(－x2＋ax－3)恒成立，
分离参数得a≤2ln x＋x＋3x.
令h(x)＝2ln x＋x＋3x(x∈(0，＋∞))，则h′(x)＝x+3x-1x2.
当x∈(0，1)时，h′(x)0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
所以h(x)min＝h(1)＝4，即a≤4，
故a的取值范围是(－∞，4].
微专题2　零点问题
提分题
[例3]　解析：(1)由f(x)＝x－2sin x得f′(x)＝1－2cos x，x∈(0，π)，
令f′(x)＝0得，x＝π3，
当00，
令g(t)＝ln t－2t-1t+1(t>1)，则g′(t)＝1t-4t+12＝t-12tt+12>0，
所以g(t)在(1，＋∞)上递增，
所以g(t)>g(1)＝0，所以x1＋x2>1，
因为x1＝ln 2＋ln a＋12ln x1，x2＝ln 2＋ln a＋12ln x2，
所以x1＋x2＝2ln 2＋2ln a＋12ln (x1x2)．
要证x1＋x2