高中物理高考 第3讲　机械能守恒定律及其应用

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第3讲　机械能守恒定律及其应用



知识点　　重力势能　Ⅱ
1．定义
物体由于被举高而具有的能量，叫作重力势能。
2．表达式
Ep＝mgh，其中h是相对于参考平面的高度。
3．特点
(1)系统性：重力势能是地球与物体所组成的“系统”所共有的。
(2)相对性：重力势能的数值与所选参考平面有关。
(3)标量性：重力势能是标量，正负表示大小。
4．重力做功的特点
(1)物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
5．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小，重力对物体做负功，重力势能增大。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝Ep1－Ep2＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考平面的选取无关。
知识点　　弹性势能　Ⅰ
1．定义
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。
2．大小：弹簧的弹性势能跟弹簧的形变量及劲度系数有关，形变量越大，劲度系数越大，弹性势能就越大。
3．弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－ΔEp。
知识点　　机械能守恒定律　Ⅱ
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
2．常用的三种表达式
(1)守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能。
(2)转化式：ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp减。表示系统势能的减少量等于动能的增加量。
(3)转移式：ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减。表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能。
3．对机械能守恒定律的理解
(1)只受重力或弹力作用，系统的机械能守恒。
(2)除受重力或弹力之外，还受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功，系统机械能守恒。
(3)除受重力或弹力之外，还受其他力，但其他力所做功的代数和为零，系统机械能守恒。

一 堵点疏通
1．被举到高处的物体重力势能一定不为零。(　　)
2．克服重力做功，物体的重力势能一定增加。(　　)
3．弹力做正功弹性势能一定增加。(　　)
4．物体所受的合力为零，物体的机械能一定守恒。(　　)
5．物体的速度增大时，其机械能可能减小。(　　)
6．物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。(　　)
答案　1.×　2.√　3.×　4.×　5.√　6.√
二 对点激活
1．关于重力势能，下列说法中正确的是(　　)
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
答案　D
解析　重力势能具有相对性，某个物体处于某个位置，相对不同的参考平面具有不同的重力势能，故A错误；重力势能Ep＝mgh，h为相对于零势能面的高度，当物体位于零势能面以下时，它与零势能面的距离越大，重力势能越小，故B错误；重力势能由－5 J变化为－3 J，重力势能变大，故C错误；重力做的功等于重力势能的减少量，故D正确。
2．(多选)神舟号载人飞船在发射至返回的过程中，以下哪些阶段中返回舱的机械能是守恒的(　　)
A．飞船升空的阶段
B．飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段
C．返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段
D．降落伞张开后，返回舱下降的阶段
答案　BC
解析　飞船升空的阶段，火箭加速上升，重力势能和动能都增加，故机械能增加，A错误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只有引力做功，故机械能守恒，B正确；返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段，只有引力做功，故机械能守恒，C正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，由于克服阻力做功，故机械能减少，D错误。
3. (人教版必修第二册·P93·T3改编)(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)

A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的重力势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv－mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
答案　AD
解析　从地面到海平面重力对物体做的功为mgh，故A正确；地面为零势能面，所以物体在海平面的重力势能为－mgh，故B错误；物体在地面上的机械能为mv，由机械能守恒定律得，物体在海平面上的机械能也为mv，故D正确；在海平面上的动能为mv－(－mgh)＝mv＋mgh，故C错误。



考点1　　机械能守恒的理解与判断
1.机械能守恒定律的理解
(1)机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。
(2)当研究对象(除地球外)只有一个物体时，往往根据“是否只有重力(或弹力)做功”来判断机械能是否守恒；当研究对象(除地球外)由多个物体组成时，往往根据“有没有摩擦力和阻力做功”来判断机械能是否守恒。
(3)“只有重力(或弹力)做功”不等于“只受重力(或弹力)作用”，在该过程中，物体可以受其他力的作用，只要这些力不做功或所做功代数和为零，机械能仍守恒。
2．机械能是否守恒的判断方法
(1)用机械能的定义判断(直接判断)：判断机械能是否守恒可以看物体系统机械能的总和是否变化。
(2)用做功判断：若物体系统只有重力或系统内弹力做功，虽受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。
例1　(多选)下列关于机械能是否守恒的叙述，正确的是(　　)
A．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动的物体的机械能可能守恒
C．合力对物体做的功为零时，机械能一定守恒
D．只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒
(1)做匀速直线运动的物体机械能一定守恒吗？
提示：不一定，在竖直面内做匀速直线运动的物体机械能一定不守恒。
(2)机械能守恒的条件是什么？
提示：只有重力或系统内弹力做功。
尝试解答　选BD。
做匀速直线运动的物体，若重力或弹力做功，必定还有其他力做功，所以做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒，A错误。做匀变速直线运动的物体，可能只有重力做功(如自由落体运动)，物体的机械能可能守恒，B正确。合力对物体做功为零时，物体的动能不变，但势能有可能变化，机械能不一定守恒，C错误。D中的叙述符合机械能守恒的条件，D正确。

判断机械能守恒应注意的“两点”
(1)机械能守恒的条件绝不是合力的功等于零，更不是合力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。
(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
[变式1]　(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)

A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落、B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D．丁图中，小球在竖直平面内来回摆动(不计空气阻力)，小球的机械能守恒
答案　CD
解析　甲图中物体A的重力和弹簧弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错误；乙图中物体B除受重力外，还受A的支持力，A的支持力对B做负功，B的机械能减小，B的机械能不守恒，但从能量转化角度看，A、B组成的系统机械能守恒，B错误；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B系统机械能守恒，C正确；丁图中小球在竖直平面内来回摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，D正确。
考点2　　单个物体的机械能守恒
　求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选取研究对象——物体及地球构成的系统。机械能守恒定律研究的是物体系统，如果是一个物体与地球构成的系统，一般只对物体进行研究。
(2)根据物体所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。
(4)选取方便的机械能守恒定律方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。
例2　(多选)如图所示，两个质量相同的小球A、B，用细线悬挂在等高的O1、O2点，A球的悬线比B球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平位置后将小球无初速度释放，则经最低点时(以悬点所在的水平面为参考平面)(　　)

A．B球的动能大于A球的动能
B．A球的动能大于B球的动能
C．A球的机械能大于B球的机械能
D．A球的机械能等于B球的机械能
(1)以悬点所在的水平面为参考平面，两小球的机械能为多少？
提示：零。
(2)经最低点时，A、B重力势能均为负值，A、B的重力势能谁比较大？
提示：B球重力势能大。
尝试解答　选BD。
空气阻力不计，小球下落过程中只有动能和重力势能之间的转化，机械能守恒，故C错误，D正确；到最低点时A球减少的重力势能较多，增加的动能较多，故A错误，B正确。

1.机械能守恒定律的应用技巧
(1)应用机械能守恒定律的前提是“守恒”，因此，需要先对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒作出判断。
(2)列方程时，选取的角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
2．用机械能守恒定律解决非质点问题
(1)在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
(2)这类物体虽然不能看成质点来处理，但若只有重力做功，则物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。一般情况物体各部分速度大小相同，动能用mv2表示。
[变式2－1]　(2021·八省联考重庆卷)一质量为m的物块仅在重力作用下运动，物块位于r1和r2时的重力势能分别为3E0和E0(E0>0)。若物块位于r1时速度为0，则位于r2时其速度大小为(　　)
A．2 B.
C．2 D.4
答案　A
解析　物块仅在重力作用下运动，物块的机械能守恒，根据机械能守恒定律可知E1＝E2，代入已知条件为3E0＋0＝E0＋mv2，解得物块位于r2处的速度大小为v＝2，故A正确。
[变式2－2]　一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示。若将一个质量也为m的小球分别拴在链条左端或右端，如图b、图c所示，约束链条的挡板光滑，三种情况下链条均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，设它们的速度分别为va、vb、vc，则关于va、vb、vc的关系，下列判断中正确的是(　　)

A．va＝vb＝vc B.vavb D.va>vb>vc
答案　C
解析　设桌面下方L处为零势能面。链条由静止释放之后，到整根刚离开桌面，由于桌面无摩擦，对三种情况，则释放前，系统的重力势能为：图a中，Ep1＝mgL＋mg·L＝mgL，图b中，Ep2＝gL＋mg·L＝，图c中，Ep3＝mgL＋mg·L＋mg·＝mgL。释放后，整根链条刚离开桌面时，系统的重力势能为：图a中，Ep1′＝mg，图b中，Ep2′＝mgL＋mg·＝mgL，图c中，Ep3′＝mgL。则系统损失的重力势能ΔEp1＝mgL，ΔEp2＝mgL，ΔEp3＝mgL，而ΔEp1＝mv，ΔEp2＝(2m)v，ΔEp3＝(2m)v，解得：v＝gL，v＝gL，v＝gL，显然v>v>v，所以vc>va>vb，故C正确。
考点3　　多物体组成的系统机械能守恒的应用
1.系统机械能是否守恒的判断方法
看是否有其他形式的能与机械能相互转化。
2．三种守恒表达式的比较
角度
公式
意义
注意事项
守恒
观点
Ek1＋Ep1
＝Ek2＋Ep2
系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等
初、末状态必须用同一零势能面计算势能
续表
角度
公式
意义
注意事项
转化
观点
ΔEk＝－ΔEp
系统减少(或增加)的势能等于系统增加(或减少)的动能
应用时关键在于分清势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差
转移
观点
ΔEA增＝ΔEB减
若系统由A、B两物体组成，则A物体机械能的增加量与B物体机械能的减少量相等
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
3．几种常见类型
类型一：轻绳连接的物体系统
(1)常见情景

(2)三点提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
类型二：轻杆连接的物体系统
(1)常见情景

(2)三大特点
①用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：
a．若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。
b．“关联速度法”：两物体沿杆方向速度大小相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
类型三：轻弹簧连接的物体系统
(1)题型特点
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
(2)两点提醒
①对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩。
②物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。
例3 如图所示，一根轻绳绕过光滑的轻质定滑轮，两端分别连接物块A和B，B的下面通过轻绳连接物块C，A锁定在地面上。已知B和C的质量均为m，A的质量为m，B和C之间的轻绳长度为L，初始时C离地的高度也为L。现解除对A的锁定，物块开始运动。设物块可视为质点，落地后不反弹。重力加速度大小为g。求：

(1)A刚上升时的加速度大小a；
(2)A上升过程的最大速度大小vm；
(3)A离地的最大高度H。
(1)C落地后，A加速还是减速？
提示：减速。
(2)A离地最高时，B可能在哪里？
提示：B可能已落地，也可能还未落地。
尝试解答　(1)g　(2) 　(3)L
(1)解除对A的锁定后，A加速上升，B和C加速下降，加速度大小a相等，设轻绳对A和B的拉力大小为T，由牛顿第二定律得
对A：T－mg＝ma
对B、C：(m＋m)g－T＝(m＋m)a
联立解得：a＝g。
(2)C落地后，A的重力大于B的重力，A减速上升，所以当物块C刚着地时，A的速度最大。从A刚开始上升到C刚着地的过程，由机械能守恒定律得
2mgL－mgL＝(2m)v＋v
解得vm＝ 。
(3)假设C落地后A继续上升h时速度为零，此时B未触及地面，A和B组成的系统机械能守恒，有
mgh－mgh＝0－v
联立解得：h＝L
由于h＝L