2022-2023学年江苏省扬州大学附属中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省扬州大学附属中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．抛物线的准线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】抛物线的准线方程为，即可求解．

【详解】由于抛物线的准线方程为，则有抛物线的准线方程是.

故选：C

2．在等差数列{}中，，，则的值为（    ）

A．18 B．20 C．22 D．24

【答案】B

【分析】根据等差数列通项公式相关计算求出公差，进而求出首项.

【详解】设公差为，由题意得：，解得：，所以.

故选：B

3．过点且平行于直线的直线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据平行关系设直线方程，再代入点的坐标，求直线方程.

【详解】设与直线平行的直线是，代入点得，得，所以直线方程是.

故选：A

4．直线被圆截得的弦长为

A． B．2 C． D．1

【答案】B

【分析】先求出圆心到直线的距离,再根据勾股定理可求得弦长.

【详解】由可知圆心为,半径为,

所以圆心到直线的距离为,

由勾股定理可得弦长为.

故选:B

【点睛】本题考查了由圆的标准方程求圆心和半径,考查了点到直线的距离公式,考查了勾股定理,属于基础题.

5．椭圆的一个焦点坐标为，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，解出即可.

【详解】椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，则，

解得.

故选：D.

【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.

6．双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（   ）

A． B． C．2 D．4

【答案】A

【分析】由双曲线的渐近线的方程可得，再利用，将所得等式转化为关于离心率的方程，即可解得离心率.

【详解】双曲线的渐近线方程为

，

，，.

故选：A

【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于常考题.

7．是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到 轴的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B的中点横坐标的和,求出线段AB的中点到y轴的距离

【详解】是抛物线的焦点, 

,准线方程, 

设,

, 

, 

线段AB的中点横坐标为, 

线段AB的中点到y轴的距离为

所以D选项是正确的

【点睛】抛物线的弦长问题一般根据第一定义可简化运算．

8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形截某圆锥得到椭圆，且与矩形的四边相切．设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由方程的要求，排除两个选项，再由矩形的面积确定正确选项．

【详解】由题意椭圆方程是，排除BD，

矩形的四边与椭圆相切，则矩形的面积为，．

在椭圆中，，，满足题意，

在椭圆中，, 不满足题意．

故选：A．

二、多选题

9．过点引圆的切线，则切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据题意分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线的方程．

【详解】根据题意知圆的圆心为，半径，

若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，符合题意；

若切线的斜率存在，设切线方程为，即，

则有，解可得，所以切线方程为，

综上可知，切线方程为或.

故选：BC．

10．下列说法正确的是（    ）

A．直线必过定点

B．直线在轴上的截距为1

C．直线的倾斜角为

D．过点且垂直于直线的直线方程为

【答案】AD

【分析】A将方程化为点斜式即可知所过定点；B令求截距；C由方程确定斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可知倾斜角的大小；D计算两直线斜率的乘积，并将点代入方程验证即可判断正误.

【详解】A：由直线方程有，故必过，正确；

B：令得，故在轴上的截距为－1，错误；

C：由直线方程知：斜率为，则倾斜角为，错误；

D：由，的斜率分别为，则有故相互垂直，将代入方程，故正确.

故选：AD

11．（多选）已知方程表示曲线，则（    ）

A．当时，曲线一定是椭圆

B．当或时，曲线一定是双曲线

C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则

D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则

【答案】BD

【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的标准方程，一一判断即可.

【详解】对于A，当时，曲线是圆，故A错误；

对于B，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，

当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确；

对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；

对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确．

故选BD．

12．下列四个命题表述正确的是（    ）

A．横纵截距相等的直线斜率为

B．圆上有且仅有3个点到直线：的距离等于1

C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则

D．已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则弦长度的最小值为

【答案】BCD

【分析】A.分析当直线过原点时，斜率的情况；

B.首先计算圆心到直线的距离，再和半径比较，即可判断选项；

C.首先判断圆与圆的位置关系，再列式求的值；

D.首先根据几何关系求得，由的最小值，求得的最小值.

【详解】A．当直线过原点时，直线的横纵截距为0，这时直线的斜率不一定为-1，故A错误；

B．圆的圆心到直线的距离为，而圆的半径为2，

则平行于且距离为1的两条直线分别过圆心以及和圆相切，

所以圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故B正确；

C.圆：圆心，半径，

圆：的圆心，半径，

依题意两圆外切，则，即，解得，故C正确；

对于D，圆：的圆心，，点到直线的距离，则，由切线长定理知，直线垂直平分线段，于是得：

，

当且仅当点是过圆心向直线作垂直的垂足时取“＝”，即弦长度的最小值为，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．在等差数列中，若，，则它的前5项和的值为______．

【答案】

【分析】根据条件求出，再用公式求和即可.

【详解】因为数列为等差数列，设其公差为，则，

所以，

所以.

故答案为：

14．等轴双曲线的离心率为______.

【答案】

【分析】根据题意得，再求离心率即可.

【详解】解：因为双曲线为等轴双曲线，即实半轴长等于虚半轴长，

所以，离心率

故答案为：

15．直线过抛物线的焦点，与交于俩点，则________．

【答案】10

【分析】先求出，再利用公式可求.

【详解】因为直线过抛物线的焦点，故即，

故抛物线，

设，

由可得，

故，

故答案为：10.

四、双空题

16．已知分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点．

（1）的值为________；

（2）若，且的面积为，求b的值为________．

【答案】     20     8

【分析】（1）根据椭圆的定义，直接求即可得解；

（2）根据焦点三角形的性质，利用面积公式结合余弦定理，即可得解.

【详解】（1）由知，

，

（2）设，

，

可得，

所以，

所以，

所以，

故答案为：（1）20；（2）8.

五、解答题

17．已知等差数列的前项和为，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求的最大值及相应的的值.

【答案】(1)

(2)当或时，有最大值是20

【分析】（1）用等差数列的通项公式即可.

（2）用等差数列的求和公式即可.

【详解】（1）在等差数列中，∵,

∴，

解得，

∴；

（2）∵，

∴ ，

∴当或时，有最大值是20

18．已知直线：.

(1)若直线在轴上的截距为2，求实数的值；

(2)若直线与直线：平行，求两平行线之间的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据直线方程求得截距的表达式，解方程得出实数的值.

（2）根据平行得出参数的值，进而求出两平行线之间的距离

【详解】（1）由题意

在直线：中，

令，可得，

∴直线在轴上的截距为，

解得：；

（2）由题意及（1）得

在直线：中，

直线与直线：平行，

∴，

∴直线的方程可化为

∴两平行线之间的距离为：.

19．已知离心率为的双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，且三角形面积为为坐标原点）．

(1)求双曲线的浙近线方程；

(2)求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据离心率可求，从而可求渐近线方程.

（2）根据（1）的结果可求的坐标，结合题设中的面积可求的值.

【详解】（1）因为，所以，即，

故双曲线的渐近线方程为：．

（2）不失一般性，可设A在x轴下方，B在x轴上方，因为抛物线的准线方程为：，

由得，

同理可得，所以，

因为，解得．

20．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.

(1)求圆的方程；

(2)若圆与直线交于两点，_____________，求的值.

从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：；条件③：.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆心坐标为，半径为，由，，求出圆心坐标和半径得圆方程；

（2）选①，由等腰三角形求得圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式得参数值；

选②，由等腰三角形求得圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式得参数值；

选③，由数量积的定义求得，然后同选①求解．

【详解】（1）设圆心坐标为，半径为，

因为圆心在直线 上，所以.

又圆与轴相切于点，所以，

所以圆的圆心坐标为，则圆的方程为；

（2）如果选择条件①，因为，，

所以圆心到直线的距离，

则，解得，

如果选择条件②，因为，，

由垂径定理可知圆心到直线的距离．

则，解得，

如果选择条件③，因为，所以，

得，又，

所以圆心到直线的距离 ，

则，解得．

21．已知椭圆的右焦点为F，离心率为e，从第一象限内椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足为F，且tan∠POF＝e，△POF的面积为

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l//PO，椭圆C与直线l的交于A，B两点，求△APB的面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设椭圆C的焦距为2c，根据已知列出方程组，解方程组即得解；

（2）先求出，再利用基本不等式求解.

【详解】（1）解：设椭圆C的焦距为2c．

令，得，因为点P在第一象限，解得，

所以，所以，．

因为的面积为，

解得，，，

所以椭圆C的标准方程．

（2）解：因为，所以可设l：．

因为直线，所以．

由得．

因为，所以且．

因为，

点P到直线l的距离，

所以的面积

，

当且仅当时等号成立，

所以的面积最大值为．

22．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，且经过点．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线有且仅有一个公共点．当点位于第一象限，且被轴分割为面积比为的两部分时，求直线的方程．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题意可得，解方程组即可求出结果；

（2）分别将直线以及直线的方程与双曲线联立，表示出点与点的坐标，然后根据题意得到关于的方程组，解方程组即可求出结果.

【详解】（1）因为的右焦点为，且经过点，

所以，解得．

故双曲线的标准方程为．

（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为．

联立消去，得．

由得且，

解得．

因为与垂直，所以设的方程为．

联立消去，化简得．

由且，得．

因为与双曲线有且仅有一个公共点，

所以，即，

化简得，且点．

因为点位于第一象限，所以，．

不妨设，分别位于双曲线的左、右两支上，记与轴的交点为．

因为被轴分割为面积比为的两部分，且与面积相等，

所以与的面积比为，由此可得．

因此，即．

又因为，所以，解得．

因为，所以，

故直线的方程为．

【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.