2022-2023学年江苏省扬州市邗江中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省扬州市邗江中学高二上学期期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省扬州市邗江中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（    ）A．-7 B．-5 C．-2 D．2【答案】A【分析】根据两点坐标，列出斜率表达式，然后根据倾斜角得到斜率，列出方程求解即可.【详解】因为两点所在直线的倾斜角为，则，即故选:A.2．等差数列{an}中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，求a2+a8=（    ）A．45 B．75 C．180 D．300【答案】C【分析】根据等差数列性质：若，则，运算求解.【详解】∵{an}为等差数列，则，即∴故选：C.3．已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（    ）A． B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】对焦点所在位置进行分类讨论，利用、进行求解.【详解】因为椭圆的焦距是2，所以，当椭圆焦点在轴上，，所以，当椭圆焦点在轴上，，所以，故A，C，D错误.故选：B.4．若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，且，则线段的中点到轴的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由双曲线的定义可得，再由中点坐标公式即可得解.【详解】由题意，抛物线的准线为，设，所以，即，所以点的横坐标为，所以点到轴的距离为6.故选：A.5．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案.【详解】解：因为点在圆的外部，所以，解得.故选：C．6．已知数列{an}是等差数列，若，且它的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的n的最大值为A．11 B．12 C．21 D．22【答案】C【详解】由题意得，由前n项和Sn有最大值可知等差数列{an}为递减，d<0.所以，所以，所以n=21,选C.7．椭圆的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交椭圆于点（在轴的上方），连接，再作的角平分线，点在上的投影为点，则（其中为坐标原点）的长度为（    ）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】设，进而结合椭圆定义和余弦定理得，即，，再延长交于，再结合题意可知是的中点，，最后根据中位线定理即可得答案.【详解】解：由题知，因为在椭圆上，所以，设，在中，由余弦定理得，解得，所以，，，延长交于，因为是的角平分线，点在上的投影为点，所以是的中点，，因为是的中点，所以.故选：D8．已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点. 过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点A在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设上的切点分别为，利用双曲线定义及内心性质可得，同理可得，设直线的倾斜角为，由均在双曲线右支结合渐近线斜率可得，则通过化简讨论范围即可.【详解】由题意，，，设上的切点分别为，则，由得，∴，即J与E重合，又x轴，故，同理可得.设直线的倾斜角为，∵均在双曲线右支，则，即，则，∵，则，当时，；当，.综上， 的取值范围是.故选：B 二、多选题9．已知数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（    ）A．为等差数列 B．C．最小值为 D．为单调递增数列【答案】AD【分析】根据，求得，继而求出，即可判断；结合，可判断B;利用二次函数性质确定最小值，判断C.【详解】由题意数列的前n项和为，，当时， ，当 时， ，当时，满足上式，所以 ，由于 ，所以数列为首项为 ，公差为2的等差数列，因为公差大于零，所以为单调递增数列，所以正确，由于，故B错误，由于 ，，所以当或 时，取最小值，且最小值为 ，所以C错误，故选：10．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则（    ）A．点的坐标为 B．直线垂直于C． D．的最大值为【答案】BD【分析】首先求出直线过定点坐标，再判断两直线的位置关系，即可得到，利用勾股定理判断C，设，即可表示出、，再利用辅助角公式计算可得.【详解】由题意可知，动直线：，即，令，解得，即动直线经过定点，同理可得动直线：经过定点．又的方程可化为，，所以两条直线始终垂直，又是两条直线的交点，所以，所以．设，则，，所以（其中，，），所以的最大值是．故选：BD11．已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（    ）A．直线过焦点时，最小值为4B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），C．若中点的横坐标为3，则最大值为8D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：【答案】ACD【分析】对于A，由题意，过焦点，则垂直轴时最小，可得答案；对于B，已知直线的倾斜角，可根据抛物线焦半径公式，可得答案；对于C，根据三角形三边性质，可得不等式，由于中点坐标已知，根据抛物线定义与梯形中位线，可得答案；对于D，利用中点弦的斜率公式，可求得点的纵坐标，进而求得该点的坐标，根据可以，求得的斜率，同样方法，可得点的坐标，可得答案.【详解】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确；对于B选项，由题意，作图如下： 则，轴，轴，即，，，，即，，，，，，故错误；对于C选项，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确；对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确.故选：ACD.12．已知椭圆上有一点，､分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（    ）A．若，则； B．若，则满足题意的点有个；C．若是钝角三角形，则； D．椭圆的内接矩形的周长的最小值为.【答案】ABC【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式可求解，对于B，利用三角形的面积公式求出三角形的高与比较即可判断，对于C，三角形是钝角三角形，求出三角形是直角三角形的面积，进而可求出范围，对于D，利用椭圆的参数方程以及三角函数的性质求出即可【详解】由椭圆可得，则，对于A，设，，则，由此可得，所以的面积为所以，所以A正确，对于B，因为，则，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点有个，所以B正确，对于C，因为是钝角三角形，所以中有一个角大于，当时，设，则，因为，所以解得，所以，所以是钝角三角形时，有，所以C正确，对于D，令，，则椭圆内接矩形的周长为（其中且满足），由得，所以椭圆内接矩形的周长的范围为，即，所以D错误，故选：ABC 三、填空题13．已知直线与直线垂直，则实数的值为__________．【答案】或【分析】直接根据直线垂直的公式计算即可.【详解】直线与直线垂直，故，解得或.故答案为：或14．以抛物线的焦点为圆心，且以双曲线的一条渐近线相切的圆的方程__________．【答案】，【分析】根据条件，可得焦点坐标、渐近线方程，根据圆与渐近线相切，可得圆心到直线的距离等于半径r，代入公式，即可求得半径r，即可得答案.【详解】由题意知，抛物线，所以焦点坐标为（0,1），又双曲线的渐近线方程为，不妨取，即，设圆的半径为r，由题意得，所以圆的方程为：.故答案为：15．已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为________________．【答案】【分析】设，则，作出图示，确定点E的轨迹方程，利用点到直线的距离公式求得轨迹方程上的点到直线的距离的最小值，即求得的最小值，即得答案.【详解】由题意，设，则，则M为的中点，则,又，作,则 ,又,故,即E点在圆上运动，圆心为,到直线的距离为，则点到直线的最短距离为，即的最小值，也即的最小值为，故答案为：.16．已知椭圆的左，右焦点，过原点的直线与椭圆相交于两点．其中点M在第一象限，，则椭圆C的离心率的取值范围为__________．【答案】.【分析】由题意可得四边形为矩形，由勾股定理可得，可得，可得的值，又由的范围，可得的关系，进而求出椭圆的离心率.【详解】因为，所以由椭圆的对称性可得四边形为矩形，所以，因为，，所以，即，由，得，所以，得，因为点M在第一象限，所以解得，因为，，所以，得，所以，化简得，解得，综上，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故答案为：. 四、解答题17．记是公差不为的等差数列的前项和，若，.(1)求数列的通项公式；(2)求使成立的的最小值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据已知条件可得出关于、的方程组，求出这两个量的值，即可求得数列的通项公式；（2）求出的表达式，然后解不等式，即可得解.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，因为，，则，解得或（舍），所以.（2）解：由（1）可得，由可得，即，解得或，，所以，正整数的最小值为.18．已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线'与圆相交于两点．(1)求圆的标准方程；(2)当时，求直线'的方程．【答案】(1)；(2)或. 【分析】(1)根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式求出圆的半径，结合圆心即可求出圆的方程；(2)如图取的中点Q，连接AQ，则，结合点直线的距离公式和几何法求弦长可得，根据直线斜率存在和不存在分类讨论，即可求解.【详解】（1）设圆A的半径为r，由题意知，圆心到直线l的距离为，即，所以圆A的方程为；（2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即，点A到直线的距离为1，此时，符合题意；当直线与x轴不垂直时，设，即，取的中点Q，连接AQ，则，因为，所以，又点A到直线的距离为，所以，解得，所以直线方程为.综上，直线的方程为或.19．已知抛物线上的点与焦点的距离为9，点到轴的距离为．(1)求抛物线的方程．(2)经过点的直线与抛物线交于两点，为直线上任意一点，证明：直线的斜率成等差数列．【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】(1)由条件结合抛物线的定义列方程求即可；(2)联立方程组，利用设而不求的方法证明即可.【详解】（1）设点，由题意可知，所以，解得．因为，所以．所以抛物线的方程为．（2）设直线的方程为，联立方程组消去得，所以．设，则，又因为，所以，即直线的斜率成等差数列．【点睛】解决直线与抛物线的综合问题的一般方法为设而不求法，要证明直线的斜率成等差数列只需证明即可.20．已知数列的前n项和（），数列满足．(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)设数列满足（为非零整数，），问是否存在整数入，使得数列是单调递增数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析，(2)存在， 【分析】（1）计算，根据数列通项与前项和的关系得到，计算，得到，代入计算得到答案.（2）计算，得到，考虑和两种情况，计算得到答案.【详解】（1）当时，，解得；当时，，，相减得到，，，数列是等差数列，，故，，验证时，满足，故.（2），故假设存在满足条件，，当时，，即，即；当时，，即，即；综上所述：，为非零整数，故.21．设分别是圆的左､右焦点，M是C上一点，与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为(1)求椭圆C的离心率.(2)设是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A､B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得的长度为定值？并证明你的结论.【答案】(1)(2)存在，证明见解析 【分析】（1）由题意，表示点的坐标，根据斜率与倾斜角的关系，可得出的等量关系，再根据的性质，可得齐次方程，即可得答案；（2）根据椭圆上顶点的性质，可得的值，进而得到椭圆的标准方程，设出直线的方程，并联立且消元整理一元二次方程，写韦达定理，根据垂直，解得截距的值，得到直线过定点，根据圆的性质，直径所对的圆周角为直角，半径为定值，可得圆心便是答案.【详解】（1）由题意知，点在第一象限.是上一点且与轴垂直，的横坐标为.当时，，即.又直线的斜率为，所以，即，即，则，解得或（舍去），即.（2）已知是椭圆的上顶点，则，椭圆的方程为，易得直线AB的斜率必然存在，设直线的方程为，由可得所以，又，.，化简整理有，得或.当时，直线经过点，不满足题意；当时满足方程中，故直线经过轴上定点.又为过点作线段的垂线的垂足，故在以为直径的圆上，取的中点为，则为定值，且22．在一张纸片上，画有一个半径为4的圆（圆心为M）和一个定点N，且，若在圆上任取一点A，将纸片折叠使得A与N重合，得到折痕BC，直线BC与直线AM交于点P．(1)若以MN所在直线为轴，MN的垂直平分线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；(2)在（1）中点P的轨迹上任取一点D，以D点为切点作点P的轨迹的切线，分别交直线，于S，T两点，求证：的面积为定值，并求出该定值；(3)在（1）基础上，在直线，上分别取点G，Q，当G，Q分别位于第一、二象限时，若，，求面积的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析，定值为2(3) 【分析】（1）结合几何关系将所求问题转化为求的定值问题即可求解曲线方程；（2）先由斜率为0求出，当斜率不为0时，设直线方程为，联立直线与双曲线方程，由得，再由切割法得，求出点，联立直线与渐近线方程求出，代入面积公式化简即可；（3）设，，，由代换出点坐标，将代入双曲线方程化简得，再结合坐标面积公式进一步化简得关于的对勾函数，由对勾函数性质可求面积的取值范围．【详解】（1）过点N作圆M的切线，切点分别为E，F．由题意知，BC是线段AN的垂直平分线，因为直线BC与直线AM交于点P，所以，当点A在劣弧EF上时，点P在射线MA上，所以；当点A在优弧EF上时，点P在射线AM上，所以．所以，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线．设该双曲线的标准方程为，则，，所以a＝2，，，所以点P的轨迹方程为；（2）双曲线的渐近线为．由题意知直线l的斜率存在，设当直线l的斜率为0时，易知是以ST为底边的等腰三角形，,，则，此时．当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，联立消去x得，．①设直线l与y轴交于点H，则，则．（直接求的面积不易求得，将进行拆分）联立，联立．则（定值）．综上所述，的面积为定值2；（3）由题可设，，，，．因为，所以将点的坐标代入双曲线方程有，化简得．故．（三角形面积公式）因为，所以由对勾函数性质得，故．