2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期中联考数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线在x轴上的截距是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据直线在坐标轴上的截距的定义，建立方程，可得答案.
【详解】将代入直线方程，可得，解得.
故选：C.
2．双曲线的焦点坐标为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】 ，所以 ，并且焦点在轴，那么焦点坐标就是 ，故选C.
3．已知，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量夹角公式即可求解
【详解】由，，
所以
又
所以与的夹角为
故选：A
4．若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】曲线表示圆，曲线表示两条直线和，利用直线与圆的位置关系求解即可.
【详解】由得，
所以表示以为圆心，2为半径的圆，
显然与曲线有两个交点，
所以直线与曲线有除即外的2个交点，
由得，
令解得，
综上，
故选：B
5．对于直线和平面，的一个充分条件是（ ）
A．，∥，∥B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【分析】根据空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定定理逐个分析即可得答案.
【详解】A选项中，根据，∥，∥，得到或∥，所以A错误；
B选项中，，，，不一定得到，所以B错误；
C选项中，因为，，所以，又，从而得到，所以C正确；
D选项中，根据，，所以，而，所以得到∥，所以D错误.
故选：C．
【点睛】本题考查空间中线面关系有关命题的判断，面面关系有关命题的判断，属于简单题.
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】由题意可得为直角三角形，再结合A为线段的中点，可得AO垂直平分，可表示出直线，再联立渐近线方程可以得到，，的关系，进而得到双曲线离心率
【详解】由题意可知，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，
A为线段的中点，当交点在轴上方或轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图.
根据双曲线可得，，，两条渐近线方程，
，为的中点，
，又A为线段BF1的中点，垂直平分，
可设直线为①，直线为②，直线为③，
由②③得，交点坐标，点还在直线上，，可得，
，所以双曲线C的离心率，
故选：B
7．已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】作出关于直线的对称圆，把转化到与，直线同侧的，数形结合找到取最大值的位置，求出的最大值.
【详解】如图所示，
圆的圆心为，半径为3，
圆关于直线的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为，
则 ，解得：，
故圆B的圆心为，半径为1，
由于此时圆心A与圆心B的距离为：，
大于两圆的半径之和，所以两圆相离，此时点的对称点为，且，所以，在P点运动过程中，当P，B，A，，F五点共线时，且在圆B左侧，点F在圆A右侧时，最大，最大值为
故选：D.
8．在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为
D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为
【答案】C
【分析】设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果.
【详解】如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，
设正四面体的棱长为，
则，，，，，
设，其中，
对于A，若存在某个位置使得，，，
所以，解得，不满足题意，故A错误；
对于B，若存在某个位置使得，，，
则，该方程无解，故B错误；
对于C，设平面的一个法向量为，
，，
由，令，则，
若存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为，又，
则，
整理得，解得或（舍去），
所以存在，即为的中点，满足题意，故C正确；
对于D，设平面的一个法向量为，
又，，
由，取，得，
设平面的一个法向量为，
，，
由，取，则，
若存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为，
则，
整理得，易得，所以该方程无解，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键点在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决立体几何的相关问题，解题过程要注意利用方程思想进行向量运算，认真细心，准确计算．
二、多选题
9．方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ）
A．4B．2C．0D．
【答案】AD
【分析】先把整理成圆的标准形式，满足右边关于的表达式大于零.
【详解】把方程整理成
，即
，若表示圆则满足
即，即
所以或，观察答案中只有和符合题意.
故选：AD
10．若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，再结合两平行直线的距离公式，以及直线斜率和倾斜角之间的关系，即可求解.
【详解】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，
两平行直线与的距离为：
，
因为直线m被两平行直线与所截得的线段长为
所以
所以
因为直线的斜率为：，倾斜角为
所以直线m的倾斜角可以是或
如图所示：
故选：BD.
11．已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．若，则的面积为
D．直线与直线斜率乘积为定值
【答案】ABC
【分析】设点，则，利用平面向量的坐标运算以及模长公式可判断A选项；利用余弦定理结合椭圆定义、基本不等式可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；利用斜率公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，设点，则，且，、，
，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，A对；
对于B选项，设，，其中，
，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为，B对；
对于C选项，由B选项可知，可得，
所以，，C对；
对于D选项，由题意可知，则，D错.
故选：ABC.
12．如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ）
A．存在点P满足
B．存在点P满足
C．满足的点P的轨迹长度为
D．满足的点P的轨迹长度为
【答案】ABD
【分析】对于A选项可以假定，转化成点P轨迹是以B为圆心，长度为1的圆上，
同理转化成点P轨迹是以C1为圆心，长度为的圆上,两个圆位置关系即可判定A选项；
建立空间直角坐标系，点P在中心，利用向量法可判定B；
对于CD选项，利用三垂线定理分别找出垂直的两个平面，与的交线即为点P的轨迹，
可以判断CD；
【详解】对于A选项，假设，点到距离可以转化成，
正好点，且始终垂直平面，所以只需要让即可，点轨迹是以B为圆心，
长度为1的圆上，同理，，只需要让即可，点P轨迹是以C1为圆心，长度
为的圆上，如图1.
又因为，所以两个圆相交有交点，即存在点P满足，
选项A正确；
对于B选项，建立空间直角坐标系，如图2，，，若点在正方形中
心处，即，则，，可得，
，存在点，故选项B正确；
对于C选项，取的中点，的中点，连接，，.因为在平面的射影
为，又，所以，同理在平面的射影为，又，
所以，因为，所以平面，
又因为点P在侧面上，平面平面，所以点的轨迹为
，所以选项C错误；
对于D选项，过M点作交BC于点G，过M点作交于H，则，
因为，所以，同理，，
平面，平面平面，所以点的轨迹为，
所以选项D正确.
故选：ABD
【点睛】本题采用了假设法，数形结合，根据正方体的几何特质将线线垂直轨迹的求法转化为线面垂直，
进而转化成面面交线，这是判断本题的关键，考察直观想象和逻辑推理能力.
三、填空题
13．设方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________.
【答案】0