2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高一下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知复数z满足，为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据模长公式结合复数的四则运算求解.

【详解】由题意可知：，

由，可得.

故选：B.

2．已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】A

【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可.

【详解】因为，，所以，

又且与垂直，

所以，解得.

故选：A

3．下列说法正确的是（    ）

A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

B．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段

C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台

【答案】B

【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断.

【详解】对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，

所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；

对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；

对于C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，

以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，

故C错误；

对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误；

故选：B.

4．如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案.

【详解】解：

.

故选：C.

5．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．四边形的周长为 D．四边形的面积为

【答案】D

【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可.

【详解】如图过作，

由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，

即,即B错误；

还原平面图为下图，

即，即A错误；

过C作CF⊥AB，由勾股定理得，

故四边形ABCD的周长为：，即C错误；

四边形ABCD的面积为：，即D正确.

故选：D

6．已知角满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角恒等变换结合齐次式问题运算求解.

【详解】由题意可得：，

整理得，即，

则.

故选：C.

7．如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是的长，求解即可．

【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径，高

将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形，其中，，

问题转化为在上找一点，使最短，

作关于的对称点，连接，令与交于点，

则得的最小值就是为．

故选：A

8．已知函数是定义域为的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上所有实数解之和为（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】D

【分析】根据题意，判断函数的最小正周期为；再由其奇偶性，得到关于直线对称，画出函数和在上的图像，结合图像，即可得出结果.

【详解】因为，所以，因此函数的最小正周期为；

又因为函数是定义域在上的偶函数，所以，

即函数关于直线对称，

函数的最小正周期，且函数图象关于，对称，

画出函数和在上的图像如下，

由图像可得，函数和在有个交点，

除，其余两两关于直线对称，

因此关于的方程在上所有实数解之和为.

故选：D.

二、多选题

9．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移是个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．函数是奇函数 B．函数的一个对称中心是

C．若，则 D．函数的一个对称中心是

【答案】AC

【分析】对于A、B选项，根据正弦函数的性质即可判定；对于C、D选项，利用三角函数图像变换求解析式，再利用其性质判定选项即可.

【详解】因为，故A正确；

正弦函数的对称中心为，故B错误；

根据三角函数的图象变换可得：，

令，故其对称轴为，若，由对称性可得，显然成立，故C正确；

令，故其对称中心为，

显然无论k取何值，故D错误.

故选：AC

10．已知的内角，，的对边为，，，下列说法中正确的是（    ）

A．若，则一定是锐角三角形

B．若，则一定是等边三角形

C．若，则一定是等腰三角形

D．若，则一定是等腰三角形

【答案】BD

【分析】利用余弦定理即可判断A；利用正弦定理化边为角即可判断B；利用正弦定理化边为角结合二倍角的正弦公式即可判断C；利用正弦定理化边为角结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理即可判断D.

【详解】对于A，若，则，

则为锐角，但是、两角无法判断其是否为锐角，

如当，，时，

，，为钝角三角形，故A错误；

对于B，因为，所以，

所以，且，所以，

所以为等边三角形，故B正确；

对于C，因为，所以，

所以，所以或，

所以或，

所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；

对于D，因为，所以，

即，则，

又因为，所以或（舍去），

所以为等腰三角形，故D正确.

故选：BD.

11．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ）

A．对应的点位于第二象限 B．为纯虚数

C．的模长等于 D．的共轭复数为

【答案】ACD

【分析】根据题意结合复数的相关概念与运算逐项分析判断.

【详解】对于A：由题意可得：，则其对应的点为，

∵，则，

∴对应的点位于第二象限，故A正确；

对于B：由题意可得：为实数，故B错误；

对于C：由题意可得：，

则，故C正确；

对于D：由题意可得：，

则的共轭复数为，故D正确；

故选：ACD.

12．假设，且．当时，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么下列说法中正确的是（    ）

A．设，则

B．设，若//，则

C．设，若，则

D．设，若与的夹角为，则

【答案】ABD

【分析】根据题意结合平面向量的相关运算逐项分析判断.

【详解】由题意可得：，

对于A：若，则，

可得，

所以，故A正确；

对于B：∵，则，

若//，则有：

当或时，则或，可得成立；

当且时，则存在唯一实数，使得，

则，可得，整理得；

综上所述：若//，则，故B正确；

对于C：∵，则，

可得，

若，则，故C错误；

对于D：∵，

由选项A可得：，

由选项C可得：，

若与的夹角为，则，

即，解得，

∵，则，故D正确；

故选：ABD.

三、填空题

13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为__________（用坐标表示）．

【答案】

【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得向量在向量上的投影向量.

【详解】向量在向量上的投影向量为

.

故答案为：.

14．在中，，O为三角形的外心，则为______．

【答案】8

【分析】作出图形，利用余弦定理求出角的余弦值，利用同角三角函数的关系求出，再利用正弦定理得到外接圆的半径，再次利用余弦定理求出与的夹角即可求解.

【详解】如图，连接，

在中，由余弦定理可得，

，则，

在中，由正弦定理可得，，则，

所以，在中，由余弦定理可得，

，

所以，

故答案为：.

15．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________．

【答案】12

【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.

【详解】设的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，

侧面水平放置时，水的体积为

当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得，

所以当底面水平放置时，液面高为12.

故答案为：12

四、双空题

16．若为一个三角形的三边长，则称函数在区间A上为“三角形函数”．已知函数在区间上是“三角形函数”，请解决以下问题：

（1）在区间上的值域为________；

（2）实数m的取值范围为_____________．

【答案】         

【分析】根据三角函数的性质求出函数在区间上的值域；再根据三角函数的定义列式可求出结果.

【详解】因为函数，

令，由可得，

则函数可化为，且，

当时，即时，函数取最小值，

当时，即时，函数取最大值，

所以函数在区间上的值域为；

因为函数在区间上是“三角形函数”，

所以，解得，

故答案为：；.

五、解答题

17．已知．

(1)若为锐角，求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意先求，再利用两角和的余弦公式运算求解；

（2）根据倍角公式结合两角差的正切公式运算求解.

【详解】（1）∵，

且，为锐角，

解得，

所以．

（2）由（1）可知：，可得，

所以，

所以．

18．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

(1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数在一个周期内的图象；

(2)将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，若的图象关于y轴对称，求的最小值．

【答案】(1)表格见解析，图象见解析

(2)

【分析】（1）根据表格，分别求得，即可得到函数的解析式，从而得到其函数图像；

（2）根据题意，由函数图像变换，列出方程即可求得的最小值.

【详解】（1）由表中数据可得，，

所以，则，且，解得，

当时，，即，解得，

所以.

分别令，解得，

据此可得表格为：

由表格作出图象，如下图所示.

（2）由题意可得：，

因为的图象关于y对称，则，

解得，且，

所以当时，取到最小值．

19．如图，在中，点D为边的中点，．

(1)若，求；

(2)若，求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）将用表示，再利用平面向量数量积的运算律以及定义求解作答.

（2）取平面向量的基底，再利用平面向量基本定理求解作答.

【详解】（1）在中，点D为边的中点，则，

因此

所以．

（2）在中，不共线，

因为，则，而在上，即有，，

于是，而，

因此，解得，

所以的值为.

20．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：

(1)求下部四棱台的侧面积；

(2)求奖杯的体积．（尺寸如图，单位：，取3）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意直接运算求解即可；

（2）根据相关体积公式分析运算.

【详解】（1）奖杯底座的侧面上的斜高等于和．

故．

（2）

.

21．已知的内角，A，B，C的对边为a，b，c，且．

(1)求；

(2)若的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值．

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）利用正弦定理角化边以及余弦定理求解；

（2）根据面积公式求得，再根据等面积得，从而有，利用基本不等式即可求解.

【详解】（1）由正弦定理，得，即，

故.

（2）由（1）知，

因为的面积为，所以，解得，

又因为，

所以．

于是,

那么．

所以（当且仅当时等号成立）

故的最大值为2．

22．如图，已知与的夹角为，点C是的外接圆优孤上的一个动点（含端点A，B），记与的夹角为．

(1)求外接圆的直径；

(2)试将表示为的函数；

(3)设点M满足，若，其中，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）在中，利用正、余弦定理运算求解；

（2）在中，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；

（3）根据数量积用表示，根据（2）中的关系，利用三角恒等变换结合正弦函数运算求解.

【详解】（1）在中，由余弦定理，

即，

由正弦定理可得.

（2）连接，由题意可知，

在中，由正弦定理，则，

且为锐角，则，

可得，

由正弦定理，可得，

所以表示为的函数为.

（3）由题意可得，

则，

，

即，解得，

可得

，其中

构建

，其中，

当，即时，取到最大值为，

所以的最大值为.