数学八年级下册第六章 平行四边形3 三角形的中位线课时作业

八下数学思维解法技巧培优小专题

专题11  中位线的构造

题型一  连接两点构造中位线

【典例1】（2019•赤壁市模拟）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，若BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝55°，则∠ADC＝　145　°．

【点拨】连接BD，根据三角形中位线定理得到BD＝2EF＝12，EF∥BD，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，结合图形计算即可．

【解析】解：连接BD，

∵点E、F分别是边AB、AD的中点，

∴BD＝2EF＝12，EF∥BD，

∴∠ADB＝∠AFE＝55°，

BD2+CD2＝225，BC2＝225，

∴BD2+CD2＝BC2，

∴∠BDC＝90°，

∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝145°，

故答案为：145．

【典例2】（2019•宁波期末）如图，在△ABC中D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在BC上，且BC＝4BF＝4CG，EF与DG相交于点O，若∠DFE＝40°，∠DGE＝80°，那么∠DOE的度数是（　　）

A．100° B．120° C．140° D．160°

【点拨】连接DE，利用中位线的性质，可得DE，由BC＝4BF＝4CG可得FG，易得DE∥FG且DE＝FG，易得四边形DEFG为平行四边形，可得DF∥EG，利用平行线的性质可得∠DGE＝∠FDG，由外角的性质可得结果．

【解析】解：连接DE，

∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE∥BC且DE，

∵BC＝4BF＝4CG，

∴FG，

∴四边形DEFG为平行四边形，

∴DF∥EG，

∴∠DGE＝∠FDG＝80°，

∵∠DFE＝40°，

∴∠DOE＝80°+40°＝120°，

故选：B．

题型二  利用“角平分线+垂直”构造中位线

【典例3】（2019•钦州期末）如图，△ABC中，M是BC中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，若AB＝12，AC＝16，则MD等于　2　．

【点拨】延长BD交AC于H，根据等腰三角形的性质得到BD＝DH，AH＝AB＝12，根据三角形中位线定理计算即可．

【解析】解：延长BD交AC于H，

∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，

∴BD＝DH，AH＝AB＝12，

∴HC＝AC﹣AH＝4，

∵M是BC中点，BD＝DH，

∴MDCH＝2，

故答案为：2．

【典例4】（2019•南开区期中）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为（　　）

A．3 B．2.5 C．1.5 D．1

【点拨】延长CF交AB于H，证明△AFC≌△AFH可得CF＝FH，AH＝AC，然后求出BH，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DFBH．

【解析】解：如图，延长CF交AB于H，

∵AE是角平分线，

∴∠CAF＝∠HAF，

∵CF⊥AE，

∴∠AFC＝∠AFH＝90°，

在△AFC和△AFH中，

∵，

∴△AFC≌△AFH（ASA），

∴CF＝FH，AH＝AC，

∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AC＝5﹣2＝3，

又∵AD是中线，

∴DF是△BCH的中位线，

∴DFBH3＝1.5．

故选：C．

题型三  区中点构造中位线

【典例5】（2019•成都期末）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝2，则AC的长等于　　．

【点拨】过D点作DF∥BE，则DFBE＝1，F为EC中点，在Rt△ADF中求出AF的长度，根据已知条件易知G为AD中点，因此E为AF中点，则ACAF．

【解析】解：过D点作DF∥BE，

∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，

∴F为EC中点，AD⊥DF，

∵AD＝BE＝2，则DF＝1，AF，

∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，

∴△ABG≌△DBG，

∴G为AD中点，

∴E为AF中点，

∴AE＝EF＝CF，

∴ACAF．

故答案为：．

【典例6】（2019•福田区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝　13　．

【点拨】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，证明NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出NF∥BE，MF∥AD，NFBE＝5，MFAD＝12，证出NF⊥MF，在Rt△MNF中，由勾股定理即可得出答案．

【解析】解：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示：

∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点，

∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，

∴NF∥BE，MF∥AD，NFBE＝5，MFAD＝12，

∵∠ACB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵MF∥AD，

∴MF⊥BC，

∵NF∥BE，

∴NF⊥MF，

在Rt△MNF中，由勾股定理得：MN13；

故答案为：13．

【典例7】（2019•成都校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：MECF．

【点拨】延长EF到D，使DE＝EF，连接AD、BD，判断出△BDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BD＝BF，再求出∠CBF＝∠ABD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CF，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MEAD，从而得到MECF．

【解析】证明：如图，延长EF到D，使DE＝EF，连接AD、BD，

∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，

∴∠BFE＝45°，BE⊥DF，

∴BE垂直平分DF，

∴∠BDE＝45°，

∴△BDF是等腰直角三角形，

∴BD＝BF，∠DBF＝90°，

∵∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，

∠ABD+∠ABF＝∠DBF＝90°，

∴∠CBF＝∠ABD，

在△ABD和△CBF中，

，

∴△ABD≌△CBF（SAS），

∴AD＝CF，

∵M为AF的中点，DE＝EF，

∴ME是△ADF的中位线，

∴MEAD，

∴MECF．

【典例8】（2019•成都校级月考）如图，点P为△ABC的边BC的中点，分别以AB，AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE，且∠BAD＝∠CAE，求证：PD＝PE．

【点拨】如图，分别取AB、AC的中点M、N，连接DM、PM、PN、NE，构建三角形中位线，利用三角形中位线定理和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证得△MDP≌△NPE（SAS），则该全等三角形的对应边相等：PD＝PE．

【解析】证明：如图，分别取AB、AC的中点M、N，连接DM、PM、PN、NE．

∵点P为△ABC的边BC的中点，

∴PM为△ABC的中位线，

∴PMAC．

又∵NE为直角△AEC斜边上的中线，

∴NE＝ANAC，

∴MP＝NE．

同理DM＝PN．

∵DM＝AM，

∴∠1＝∠3，

∴∠5＝2∠1（三角形外角定理）．

同理，∠6＝2∠2．

又∠1＝∠2，

∴∠5＝∠6．

又 PM∥AC，PN∥AB，

∴∠7＝∠9，∠8＝∠9，

∴∠7＝∠8，

∴∠5+∠7＝∠6+∠8，即∠DMP＝∠PNE，

∴在△MDP与△NPE中，，

∴△MDP≌△NPE（SAS），

∴PD＝PE．

巩固练习

1．（2019•武汉）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是　　．

【点拨】延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME＝EB，根据三角形中位线定理得到DEAM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．

【解析】解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，

∵DE平分△ABC的周长，

∴ME＝EB，又AD＝DB，

∴DEAM，DE∥AM，

∵∠ACB＝60°，

∴∠ACM＝120°，

∵CM＝CA，

∴∠ACN＝60°，AN＝MN，

∴AN＝AC•sin∠ACN，

∴AM，

∴DE，

故答案为：．

2．（2019•宽城区期末）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，E、F、G、H分别是边AB、BD、CD、AC的中点．若AD＝10，BD＝8，CD＝6，则四边形EFGH的周长是（　　）

A．24 B．20 C．12 D．10

【点拨】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FGBC，EF＝GHAD，然后代入数据进行计算即可得解．

【解析】解：∵BD⊥CD，BD＝8，CD＝6，

∴BC10，

∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，

∴EH＝FGBC，EF＝GHAD，

∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，

又∵AD＝10，

∴四边形EFGH的周长＝10+10＝20，

故选：B．

3．（2019•英德市期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AG⊥BF，垂足为点D，交BC于点G，E为AC的中点，连结DE，DE＝2.5cm，AB＝4cm，则BC的长为　9　cm．

【点拨】由条件“BF平分∠ABC，AG⊥BF”可判定三角形ABG是等腰三角形（AB＝GB），再由条件“E为AC的中点”，可判定DE是三角形AGB的中位线，由此可得GC＝2DE，进而可求出BC的长．

【解析】解：

∵BF平分∠ABC，AG⊥BF，

∴△ABG是等腰三角形，

∴AB＝GB＝4cm，

∵BF平分∠ABC，

∴AD＝DG，

∵E为AC的中点，

∴DE是△AGB的中位线，

∴DECG，

∴CG＝2DE＝5cm，

∴BC＝BG+CG＝4+5＝9cm，

故答案为：9

4．（2019•通川区期末）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（　　）

A．3 B．2 C． D．4

【点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长．

【解析】解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，

∴DE∥AB，

∴∠EDC＝∠ABC．

∵BF平分∠ABC，

∴∠EDC＝2∠FBD．

在△BDF中，∠EDC＝∠FBD+∠BFD，

∴∠DBF＝∠DFB，

∴FD＝BDBC6＝3．

故选：A．

5．（2019•松北区一模）如图，AD和BE分别为三角形ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，若AD＝BE＝4，则AC的长　3　．

【点拨】过D点作DF∥BE，则DFBE，F为EC中点，在Rt△ADF中求出AF的长度，根据已知条件易知G为AD中点，因此E为AF中点，则ACAF．

【解析】解：过D点作DF∥BE，如图所示：

∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，

∴F为EC中点，AD⊥DF，

∵AD＝BE＝4，则DF＝2，AF2，

∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，

∴△ABG≌△DBG，

∴G为AD中点，

∴E为AF中点，

∴ACAF＝3．

故答案为：3．

6．（2019•垦利区期末）如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是　14　．

【点拨】根据三角形中位线定理得到FG∥EH，FG＝EH，根据平行四边形的判定定理和周长解答即可．

【解析】解：∵F，G分别为BC，CD的中点，

∴FGBD＝4，FG∥BD，

∵E，H分别为AB，DA的中点，

∴EHBD＝4，EH∥BD，

∴FG∥EH，FG＝EH，

∴四边形EFGH为平行四边形，

∴EF＝GHAC＝3，

∴四边形EFGH的周长＝3+3+4+4＝14，

故答案为：14

7．（2019•怀化）已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：

（1）△CDE≌△DBF；

（2）OA＝OD．

【点拨】（1）根据三角形中位线，可得DF与CE的关系，DB与DC的关系，根据SAS，可得答案；

（2）根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案．

【解析】证明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位线，

∴DF＝CE，DF∥CE，DB＝DC．

∵DF∥CE，

∴∠C＝∠BDF．

在△CDE和△DBF中，

∴△CDE≌△DBF  （SAS）；

（2）∵DE、DF是△ABC的中位线，

∴DF＝AE，DF∥AE，

∴四边形DEAF是平行四边形，

∵EF与AD交于O点，

∴AO＝OD

8．（2019•尚志市期中）如图在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，连接AD，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交线段BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：AF＝DC；

（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有面积等于△AEF面积2倍的三角形．

【点拨】（1）由“AAS”可证△AFE≌△DBE；

（2）根据等高模型即可解决问题．

【解析】证明：（1）∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE

∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，

∴AE＝DE，BD＝CD

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；

（2）解：∵AE＝DE，

∴S△ABD＝2S△BDE＝2S△AEF．

∵DB＝DC，BD＝AF，

∴AF＝CD，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∴S△ADC＝S△ACF＝S△ABF；

∴面积等于△AEF面积2倍的三角形有：△ACD，△ABD，△ACF，△AFB．