苏科版九年级数学上学期期末考试真题汇编 一元二次方程根与系数的关系

这是一份苏科版九年级数学上学期期末考试真题汇编 一元二次方程根与系数的关系，共22页。
一元二次方程根与系数的关系

一．选择题（共4小题）
1．（2022春•太仓市期末）关于x的方程（x﹣2）（x+1）＝p2（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根
C．有一个正根和一个负根 D．无实数根
2．（2022春•兴化市期末）已知一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则1x1+1x2的值为（　　）
A．2 B．﹣1 C．−12 D．﹣2
3．（2022春•靖江市校级期末）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．x1+x2＞0 B．x1•x2＜0
C．x1≠x2 D．方程的根有可能为0
4．（2020秋•盐城期末）设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是（　　）
A．0 B．2020 C．4040 D．4042
二．填空题（共4小题）
5．（2022春•泰兴市期末）关于x的方程x2+2x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x1﹣x1•x2+x2＝　 　．
6．（2022春•海门市期末）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2022的值为 　 　．
7．（2022春•通州区期末）已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子(m3−10m+n)(n−2n)的值是 　 　．
8．（2022春•启东市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．若x1﹣2x2＝6，则实数m的值为　 　．
三．解答题（共4小题）
9．（2022春•昆山市校级期末）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．


10．（2021春•高港区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若12x1＝3−12x2，求方程的两个根．


11．（太仓市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|＝2x1x2，求k的值．



12．（2020春•海陵区期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；
（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．




一．选择题（共4小题）
1．（2022秋•工业园区校级月考）已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
2．（2021•徐州模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的两个实数根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
3．（2020秋•锡山区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个．
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；
③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021•武进区校级自主招生）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　）
A．a＜−211 B．27＜a＜25 C．a＞25 D．−211＜a＜0
二．填空题（共4小题）
5．（2021秋•宿城区校级月考）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则x12−x2的值为 　 　．
6．（2020秋•姑苏区校级月考）如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH＝　 　．

7．（2021•南通模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m＝0（m＞0），当m＝1、2、3、…、2018时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2018、β2018，则：1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2018+1β2018的值为 　 　．
8．（2020秋•常州期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　 　（填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
三．解答题（共4小题）
9．（2021秋•海陵区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）．
（1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求k的值；
（2）是否存在满足条件的常数k，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．




10．（2022秋•惠山区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m的值．




11．（2022秋•沭阳县校级月考）阅读材料并解决下列问题：
材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求nm+mn的值．
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，
∴nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=1+2−1=−3．
根据上述材料解决下面的问题：
（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　．
（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．




12．（江都区月考）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：
（1）填空：方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　．
（2）应用：求一些代数式的值．
①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值；
②如果互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，求a3+6b﹣5的值．
一．选择题（共4小题）
1．（2022春•太仓市期末）关于x的方程（x﹣2）（x+1）＝p2（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根
C．有一个正根和一个负根 D．无实数根
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，则可判断方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为x1，x2，利用根与系数的关系得x1+x2＝1＞0，x1x2＝﹣2﹣p2＜0，根据有理数的性质得到x1、x2的符合相反，且正根的绝对值较大，于是可对各选项进行判断．
【解答】解：方程化为一般式为x2﹣x﹣2﹣p2＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣2﹣p2）＝4p2+9＞0，
∴方程有两个不相等的实数解，
设方程的两个分别为x1，x2，
根据根与系数的关系得x1+x2＝1＞0，x1x2＝﹣2﹣p2＜0，
∴方程有一个正根和一个负根．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了根的判别式．
2．（2022春•兴化市期末）已知一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则1x1+1x2的值为（　　）
A．2 B．﹣1 C．−12 D．﹣2
【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2，
则原式=x1+x2x1x2=4−2=−2，
故选：D．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
3．（2022春•靖江市校级期末）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．x1+x2＞0 B．x1•x2＜0
C．x1≠x2 D．方程的根有可能为0
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1x2，x1+x2的值，分析后即可判断A项，B项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断C项，D项是否符合题意．
【解答】解：A、根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2＞0，结论A正确，不符合题意；
B、根据根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣m2≤0，结论B不一定正确，符合题意；
C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意；
D、由x1•x2＝﹣m2≤0，结合判别式可得出方程的根有可能为0，结论D正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
4．（2020秋•盐城期末）设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是（　　）
A．0 B．2020 C．4040 D．4042
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，将其代入则a2+b2+a+b中即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，
∴则a2+b2+a+b＝（a2+a）+（b2+b）＝2021+2021＝4042．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
5．（2022春•泰兴市期末）关于x的方程x2+2x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x1﹣x1•x2+x2＝　2　．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣4＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣4，
则原式＝﹣2﹣（﹣4）＝﹣2+4＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1•x2=ca．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
6．（2022春•海门市期末）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2022的值为 　2036　．
【分析】由m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根可得：m2＝2m+1，n2＝2n+1，m+n＝2，代入所求式子即可得到答案．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，m+n＝2，
∴m2＝2m+1，n2＝2n+1，
∴2m2+4n2﹣4n+2022
＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+2022
＝4m+2+8n+4﹣4n+2022
＝4（m+n）+2028
＝4×2+2028
＝2036，
故答案为：2036．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．
7．（2022春•通州区期末）已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子(m3−10m+n)(n−2n)的值是 　27　．
【分析】利用一元二次方程解的定义和根与系数的关系，采用整体代入求解．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，
∴m2＝3m+2，n2﹣2＝3n，m+n＝3，
∴m3﹣10m+n＝m（3m+2）﹣10m+n＝3m2﹣8m+n＝3（3m+2）﹣8m+n＝m+n+6＝3+6＝9，
n−2n=n2−2n=3nn=3，
原式＝9×3＝27．
故答案为：27．
【点评】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，利用整体思想代入求值是解题的关键．
8．（2022春•启东市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．若x1﹣2x2＝6，则实数m的值为　﹣2　．
【分析】由韦达定理知x1+x2＝3，将其代入到x1﹣2x2＝6，即x1+x2﹣3x2＝6求得x2＝﹣1，代回方程中即可求得m的值．
【解答】解：由题意知x1+x2＝3，
∵x1﹣2x2＝6，即x1+x2﹣3x2＝6，
∴3﹣3x2＝6，
解得：x2＝﹣1，
代入到方程中，得：1+3+2m＝0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了方程的解的概念．
三．解答题（共4小题）
9．（2022春•昆山市校级期末）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）因为方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．得出其判别式Δ＞0，可解得k的取值范围；
（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可解的k的值．
【解答】解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
可得k﹣1≠0，
∴k≠1且Δ＝﹣12k+13＞0，
可解得k＜1312且k≠1；

（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2，
∵x1+x2＝0，
∴−2k−3k−1=0，
∴k=32，
又∵k＜1312且k≠1
∴k不存在．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
10．（2021春•高港区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若12x1＝3−12x2，求方程的两个根．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式Δ≥0来证明即可；
（2）解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵Δ＝（4m）2﹣4×1×（4m2﹣9）＝16m2﹣16m2+36＝36＞0，
∴已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0一定有两个不相等的实数根；
（2）∵x=4m±62×1=2m±3，
∵12x1=3−12x2，
∴x1+x2＝6，
∵x1+x2＝4m，
∴4m＝6，
∴m=32，
∴x=2×32±3，
∴x1＝6，x2＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．本题也考查了不等式的解法．
11．（太仓市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|＝2x1x2，求k的值．
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出Δ＝b2﹣4ac的值大于0，建立关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，再将它们代入|x1+x2|＝2x1x2，即可求出k的值．
【解答】解：（1）Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）
＝4k2﹣8k+4﹣4k2+4
＝﹣8k+8．
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴﹣8k+8＞0，
解得 k＜1，
即实数k的取值范围是 k＜1；

（2）由根与系数的关系，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，
∵|x1+x2|＝2x1x2，
∴|2（k﹣1）|＝2k2﹣2，
∵k＜1，
∴2﹣2k＝2k2﹣2，
化简得k2+k﹣2＝0，
∴k＝1（舍）或k＝﹣2，
∴k＝﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2=−ba；（5）x1•x2=ca．
12．（2020春•海陵区期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；
（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）证明判别式大于0即可．
（3）利用根与系数的关系，把问题转化为一元二次方程解决问题．
【解答】（1）解：由题意，4﹣2m+m﹣2＝0，
解得m＝2，
∴方程为x2+2x＝0，
解得x＝﹣2或0，
∴方程的另一个根为0．

（2）证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，
∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．

（3）由根与系数的关系得x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，由若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，
则有（x1+x2）2﹣2x1x2+m（x1+x2）＝m2+1，
∴m2﹣2（m﹣2）﹣m2＝m2+1，
整理得m2+2m﹣3＝0，
解得m＝﹣3或1．
【点评】本题考查根与系数的关系，根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

一．选择题（共4小题）
1．（2022秋•工业园区校级月考）已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m＝2022，则m2+2m+n＝2022+m+n，再利用根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的实数根，
∴m2+m﹣2022＝0，
∴m2+m＝2022，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2022+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝2022﹣1＝2021．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1•x2=ca．也考查了一元二次方程的解．
2．（2021•徐州模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的两个实数根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝k，x1•x2＝﹣1，推出x1和x2互为负倒数，再逐个判断即可．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝k，x1•x2＝﹣1，
即x1和x2互为负倒数，
∴x1≠x2，
即选项A符合题意，选项B（当k为负数时，x1+x2＜0）、选项C（x1•x2＝﹣1＜0）、选项D（x1和x2不一定都是负数）都不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系是解此题的关键．
3．（2020秋•锡山区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个．
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；
③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，
③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，
④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1=−1p，x2＝﹣q，
∴x2=−q=−2p=2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a，
若x1＝2x2，则−b+b2−4ac2a=−b−b2−4ac2a×2，
即−b+b2−4ac2a−−b−b2−4ac2a×2=0，
∴b+3b2−4ac2a=0，
∴b+3b2−4ac=0，
∴3b2−4ac=−b，
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac．
若2x1＝x2时，则−b+b2−4ac2a×2=−b−b2−4ac2a，
则−b+b2−4ac2a×2−−b−b2−4ac2a=0，
∴−b+3b2−4ac2a=0，
∴−b+3b2−4ac=0，
∴b=3b2−4ac，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac．
故④正确，
∴正确的有：②③④共3个．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
4．（2021•武进区校级自主招生）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　）
A．a＜−211 B．27＜a＜25 C．a＞25 D．−211＜a＜0
【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．
方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y＝ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x＝1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．
【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且Δ＞0，
由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，
解得−27＜a＜25，
∵x1+x2=−a+2a，x1x2＝9，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，
那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，
即9+a+2a+1＜0，
解得−211＜a＜0，
最后a的取值范围为：−211＜a＜0．
故选D．

方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，
由于方程的两根一个大于1，一个小于1，
∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，
当a＞0时，x＝1时，y＜0，
∴a+（a+2）+9a＜0，
∴a＜−211（不符合题意，舍去），
当a＜0时，x＝1时，y＞0，
∴a+（a+2）+9a＞0，
∴a＞−211，
∴−211＜a＜0，
故选：D．
【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
2、根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1x2=ca．
二．填空题（共4小题）
5．（2021秋•宿城区校级月考）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则x12−x2的值为 　2022　．
【分析】由一元二次方程解的定义得到：x12=2021﹣x1；由根与系数的关系得到：x1+x2＝﹣1；将x12=2021﹣x1，x1+x2＝﹣1代入整理后的代数式求值．
【解答】解：∵x1是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的根，
∴x12+x1﹣2021＝0，
∴x12=2021﹣x1，
∴x12−x2
＝2021﹣x1﹣x2
＝﹣（x1+x2）+2021，
∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣1，
∴原式＝﹣（﹣1）+2021
＝2022．
故答案为：2022．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
6．（2020秋•姑苏区校级月考）如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH＝　245　．

【分析】根据菱形的性质得出AB＝5，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，求出∠AOB＝90°，根据勾股定理得出AO2+BO2＝25，根据根与系数的关系得出2AO+2BO＝2（m+1），2AO•2BO＝8m，变形后代入求出m的值，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴∠AOB＝90°，
∴AO2+BO2＝AB2＝52＝25，
∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，
∴2AO+2BO＝2（m+1），2AO•2BO＝8m，
∴AO+BO＝m+1，AO•BO＝2m，
∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO×BO＝25，
∴（m+1）2﹣4m＝25，
解得：m1＝6，m2＝﹣4，
∴当m＝﹣4时，AO•BO＝﹣8＜0，不符合题意，舍去，
即m＝6，
则AO•BO＝12，AC•BD＝2AO•2BO＝4AO•BO＝48，
∵DH是AB边上的高，
∴S菱形ABCD＝AB•DH=12AC•BD，
∴5DH=12×48，
∴DH=245．
故答案为：245．
【点评】本题考查了菱形的性质和面积，勾股定理，根与系数的关系的应用，能得出关于m的方程是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
7．（2021•南通模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m＝0（m＞0），当m＝1、2、3、…、2018时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2018、β2018，则：1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2018+1β2018的值为 　40362019　．
【分析】利用根与系数的关系得到α1+β1＝﹣2，α1β1＝﹣1×2；α2+β2＝﹣2，α2β2＝﹣2×3；…α2018+β2018＝﹣2，α2018β2018＝﹣2018×2019．把原式变形，再代入，即可求出答案．
【解答】解：∵x2+2x﹣m2﹣m＝0，m＝1，2，3，…，2018，
∴由根与系数的关系得：α1+β1＝﹣2，α1β1＝﹣1×2；
α2+β2＝﹣2，α2β2＝﹣2×3；
…
α2018+β2018＝﹣2，α2018β2018＝﹣2018×2019．
∴原式=α1+β1α1β1+α2+β2α2β2+α3+β3α3β3+⋯+α2018+β2018α2018β2018
=21×2+22×3+23×4+⋯+22018×2019
＝2×（1−12+12−13+13−14+⋯+12018−12019）＝2×（1−12019）=40362019，
故答案为：40362019．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
8．（2020秋•常州期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③④　（填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，
③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，
④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1=−1p，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q=−2p=2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a，
若x1＝2x2，则，−b+b2−4ac2a=−b−b2−4ac2a×2，
即，−b+b2−4ac2a−−b−b2−4ac2a×2＝0，
∴b+3b2−4ac2a=0，
∴b+3b2−4ac=0，
∴3b2−4ac=−b
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac．
若2x1＝x2时，则，−b+b2−4ac2a×2=−b−b2−4ac2a，
即，则，−b+b2−4ac2a×2−−b−b2−4ac2a=0，
∴−b+3b2−4ac2a=0，
∴﹣b+3b2−4ac=0，
∴b＝3b2−4ac，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac．
故④正确，
故答案为：②③④
【点评】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
三．解答题（共4小题）
9．（2021秋•海陵区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）．
（1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求k的值；
（2）是否存在满足条件的常数k，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据菱形的性质知四边相等，方程的两根为菱形相邻两边长，得Δ＝0，求出k；
（2）根与系数的关系求出两根之和、两根之积，根据菱形的两对角线互相垂直平分，由勾股定理列等式，求出k．
【解答】解：（1）∵方程的两根为菱形相邻两边长，
∴此方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+k+3）＝0，
4（k2+2k+1）﹣4k2﹣4k﹣12＝0，
4k2+8k+4﹣4k2﹣4k﹣12＝0，
4k﹣8＝0，
k＝2，
（2）不存在，理由如下：
∵该方程的两解是菱形的两对角线长，
∴a+b＝2（k+1），ab＝k2+k+3，
设菱形的两对角线长a，b．
∵菱形的两对角线互相垂直平分，
∴由勾股定理得，(b2)2+(a2)2=4，
b24+a24=4，
b2+a2＝16，
∴b2+2ab+a2﹣2ab＝16，
（a+b）2﹣2ab＝16，
[2（k+1）]2﹣2（k2+k+3）＝16，
解得k=−3±352，
∵Δ＝4k﹣8，
∴4k﹣8≥0．
∴k≥2，
∵k=−3±352＜2，
∴不存在满足条件的常数k．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系、菱形的判定与性质，掌握根的判别式、菱形的性质、勾股定理的综合应用，第二问求出k时，一定注意4k﹣8≥0这个知识点．
10．（2022秋•惠山区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，计算即可；
（2）根据根与系数的关系求出x2＝2，代入原方程计算即可．
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝25﹣4m≥0，
解得，m≤254；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1•x2＝m，
∵3x1﹣2x2＝5，
∴3x1+3x2﹣5x2＝5，
∴﹣5x2＝﹣10，
解得，x2＝2，
把x＝2代入原方程得，m＝6．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
11．（2022秋•沭阳县校级月考）阅读材料并解决下列问题：
材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求nm+mn的值．
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，
∴nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=1+2−1=−3．
根据上述材料解决下面的问题：
（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝　﹣2　，x1x2＝　−15　．
（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．
【分析】（1）5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，则x1+x2=−ba=−2，x1x2=ca=−15．
（2）由题意m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，由此可得结论；
（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，由此可得结论．
【解答】解：（1）在5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，
∴x1+x2=−ba=−2，x1x2=ca=−15．
故答案为：﹣2，−15；

（2）∵m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，m≠n，
∴m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，
∴m+n＝1，mn=−13，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）=−13×1=−13；

（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，
∴p+2q＝7，2pq＝2，
∴p2+4q2＝（p+2q）2﹣4pq＝72﹣2×2＝45．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．
12．（江都区月考）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：
（1）填空：方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，则x1+x2＝　5　，x1x2＝　3　．
（2）应用：求一些代数式的值．
①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值；
②如果互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，求a3+6b﹣5的值．
【分析】（1）利用题目中所给关系直接求解即可；
（2）①利用根与系数的关系可求得x1+x2和x1x2的值，再代入计算即可；②把a3+6b﹣5化成a3﹣a2+a2+6b﹣5，再利用根的定义及根与系数的关系可求得答案．
【解答】解：
（1）∵方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，
∴x1+x2＝﹣（﹣5）＝5，x1x2＝3，
故答案为：5；3；
（2）①∵x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝2，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝2﹣4+1＝﹣1；
②∵互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，
∴a、b为方程x2﹣x﹣5＝0的两根，
∴a+b＝1，a2﹣a＝5，
∴a3+6b﹣5＝a3﹣a2+a2+6b﹣5＝a（a2﹣a）+a2+6b﹣5＝5a+6b+a2﹣5＝5a+6b+a＝6a+6b＝6（a+b）＝6．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，理解一元二次方程两根和、两根积与系数a、b、c的关系是解题的关键．