苏科版九年级数学上学期期末考试真题汇编 用一元二次方程解决问题

这是一份苏科版九年级数学上学期期末考试真题汇编 用一元二次方程解决问题，共22页。试卷主要包含了某超市销售一种衬衫等内容，欢迎下载使用。
用一元二次方程解决问题

一．选择题（共4小题）
1．（2022春•通州区期末）一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有（　　）
A．7个 B．49个 C．121个 D．512个
2．（2021秋•常州期末）为保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商经过统计发现：某品牌头盔从5月份到7月份销售量的月增长率相同，若5月份销售200个，7月份销售288个，设月增长率为x则可列出方程（　　）
A．200（1+x）＝288 B．200（1+2x）＝288
C．200（1+x）2＝288 D．200（1+x2）＝288
3．（2022春•泰兴市期末）某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨a元与降b元所获得的利润相同，则a与b满足（　　）
A．a﹣b＝4 B．a﹣b＝8 C．a+b＝4 D．a+b＝8
4．（2022春•工业园区校级期末）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（　　）
A．102+（x﹣1）2＝x2 B．（x+1）2＝x2+102
C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12
二．填空题（共4小题）
5．（2021秋•盱眙县期末）要利用一面很长的围墙和100米长的隔离栏建三个如图所示的矩形羊圈，若计划建成的三个羊圈总面积为400平方米，则羊圈的边长AB为多少米？设AB＝x米，根据题意可列出方程的为 　 　．

6．（2021秋•广陵区期末）某书店第一天销售500本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为720本，若设每天的增长率为x，可列方程为 　 　．
7．（2022春•姜堰区期末）某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为 　 　．
8．（2022春•海门市期末）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为　 　．
三．解答题（共4小题）
9．（2022春•亭湖区校级期末）某水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价后价格为8.1元/kg，并且两次降价的百分率相同．
时间/天
x
销量/kg
120﹣x
储藏和损耗费用/元
3x2﹣64x+400
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg，设销售该水果第x天（1≤x＜10）的利润为377元，求x的值．


10．（2022春•兴化市期末）某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出 　 　件衬衫，此时每天销售获利 　 　元．
（2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？
（3）该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能，请说明理由．

11．（2022春•海安市期末）某校准备在一块长为25米，宽为20米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．
（1）花园内的小路面积为 　 　平方米（用含x的代数式表示）．
（2）若草坪面积为440平方米时，求这时道路宽度x的值．




12．（2022春•海陵区校级期末）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．
（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？
（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．




一．选择题（共4小题）
1．（2021秋•沭阳县校级月考）把一块长与宽之比为2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（　　）
A．（2x﹣20）（x﹣20）＝1500 B．10（2x﹣10）（x﹣10）＝1500
C．10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500 D．10（x﹣10）（x﹣20）＝1500
2．（2021秋•工业园区校级月考）某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两人之间都握了一次手，所有人共握了45次手，设共有x位同学聚会，则x满足的关系式为（　　）
A．12x（x+1）＝45 B．12x（x﹣1）＝45
C．x（x+1）＝45 D．x（x﹣1）＝45
3．（2022春•福山区期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是（x+x+2）2．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5．则在下面四个构图中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（2022秋•铜山区校级月考）可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=a2，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（　　）

A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长
二．填空题（共4小题）
5．（2021秋•溧阳市期末）老李有一块长方形菜地（长大于宽），面积为180m2，他利用菜地宽处修了一个宽为3m的蓄水池，修完后老李发现他的菜地刚好变成一个正方形菜地．那么老李原来的菜地周长为 　 　m．
6．（2022•广陵区校级一模）如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 　 　m．

7．（2021秋•锡山区校级月考）《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x+m＝0，构造图2，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为 　 　．

8．（2022春•惠山区期末）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，线段BF、DG、CG和GF中，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为 　 　．

三．解答题（共4小题）
9．（2021•兴化市模拟）某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．
（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？



10．（2022秋•建湖县校级月考）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．




11．（2022秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？







12．（2022秋•宜兴市月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？

一．选择题（共4小题）
1．（2022春•通州区期末）一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有（　　）
A．7个 B．49个 C．121个 D．512个
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，根据“一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入64（1+x）中即可求出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，
依题意得：1+x+x（1+x）＝64，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去），
∴64（1+x）＝64×（1+7）＝512，
∴经过三轮传染后患流感的人数共有512个．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2021秋•常州期末）为保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商经过统计发现：某品牌头盔从5月份到7月份销售量的月增长率相同，若5月份销售200个，7月份销售288个，设月增长率为x则可列出方程（　　）
A．200（1+x）＝288 B．200（1+2x）＝288
C．200（1+x）2＝288 D．200（1+x2）＝288
【分析】根据从5月份到7月份销售量的月增长率相同，根据5月份销售200个，7月份销售288个，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设月增长率为x，
根据题意得，200（1+x）2＝288，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2022春•泰兴市期末）某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨a元与降b元所获得的利润相同，则a与b满足（　　）
A．a﹣b＝4 B．a﹣b＝8 C．a+b＝4 D．a+b＝8
【分析】将利润用函数关系表达出来，由于涨价、降价时的销售量变化幅度一致，所以利润可用一元二次函数表示，再利用一元二次函数的对称性解决即可．
【解答】解：由题意得，（4+a）（120﹣10a）＝（4﹣b）（120+10b），
解得a﹣b＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据题干信息整理出一元二次函数式是解题的关键．
4．（2022春•工业园区校级期末）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（　　）
A．102+（x﹣1）2＝x2 B．（x+1）2＝x2+102
C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12
【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x﹣1）尺，根据勾股定理可列出方程．
【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴102+（x﹣1）2＝x2，
故选：A．

【点评】此题考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
二．填空题（共4小题）
5．（2021秋•盱眙县期末）要利用一面很长的围墙和100米长的隔离栏建三个如图所示的矩形羊圈，若计划建成的三个羊圈总面积为400平方米，则羊圈的边长AB为多少米？设AB＝x米，根据题意可列出方程的为 　（100﹣4x）x＝400　．

【分析】设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米，然后根据矩形的面积公式列出方程．
【解答】解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x＝400，
故答案为：（100﹣4x）x＝400．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
6．（2021秋•广陵区期末）某书店第一天销售500本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为720本，若设每天的增长率为x，可列方程为 　500（1+x）2＝720　．
【分析】利用第三天的销售量＝第一天的销售量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：500（1+x）2＝720．
故答案是：500（1+x）2＝720．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2022春•姜堰区期末）某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为 　10%　．
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2021年要投入教育经费是2000（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2022年的教育经费数额，即可列出方程求解．
【解答】解：设年平均增长率为x，根据题意得：
2000（1+x）2＝2420，
解得：x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．
即：年平均增长率为10%．
故答案是：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．掌握增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量是本题的关键．
8．（2022春•海门市期末）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为　x（x﹣12）＝864　．
【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．
【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．
根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864．
故答案为：x（x﹣12）＝864．
【点评】本题为面积问题，考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积＝矩形的长×矩形的宽．
三．解答题（共4小题）
9．（2022春•亭湖区校级期末）某水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价后价格为8.1元/kg，并且两次降价的百分率相同．
时间/天
x
销量/kg
120﹣x
储藏和损耗费用/元
3x2﹣64x+400
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg，设销售该水果第x天（1≤x＜10）的利润为377元，求x的值．
【分析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据题意作出取舍即可；
（2）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得：
10（1﹣x）2＝8.1，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去），
∴x＝0.1＝10%，
∴该种水果每次降价的百分率为10%；
（2）根据题意得，（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝377，
解得，x＝9或x＝11（不合题意舍去），
答：x的值为9．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理清题中的数量关系正确地列出方程是解题的关键．
10．（2022春•兴化市期末）某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出 　28　件衬衫，此时每天销售获利 　1008　元．
（2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？
（3）该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能，请说明理由．
【分析】（1）利用平均每天的销售量＝20+2×每件衬衫降低的价格，可求出平均每天的销售量；利用每天的销售总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出此时每天销售获利；
（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，根据每天销售该衬衫获利1200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于25元，即可得出每件衬衫应降价10元；
（3）不能，设每件衬衫降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+2y）件，根据每天销售该衬衫获利1300元，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，即可得出该方程没有实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．
【解答】解：（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出20+4×2＝28（件），
此时每天销售获利（40﹣4）×28＝1008（元）．
故答案为：28；1008．
（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
当x＝10时，40﹣x＝40﹣10＝30＞25，符合题意；
当x＝20时，40﹣x＝40﹣20＝20＜25，不符合题意，舍去．
答：每件衬衫应降价10元．
（3）不能，理由如下：
设每件衬衫降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+2y）件，
依题意得：（40﹣y）（20+2y）＝1300，
整理得：y2﹣30y+250＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，
∴该方程没有实数根，
即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
11．（2022春•海安市期末）某校准备在一块长为25米，宽为20米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．
（1）花园内的小路面积为 　（﹣10x2+45x）　平方米（用含x的代数式表示）．
（2）若草坪面积为440平方米时，求这时道路宽度x的值．

【分析】（1）由亭子边长是小路宽度的5倍，可得出亭子边长是5x米，利用花园内的小路面积＝小路的长度×小路的宽度，即可用含x的代数式表示出花园内的小路面积；
（2）利用草坪的面积＝长方形花园的面积﹣小路的面积﹣亭子的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵小路宽度为x米，亭子边长是小路宽度的5倍，
∴亭子边长是5x米，
∴花园内的小路面积为（25﹣5x）x+（20﹣5x）x＝（﹣10x2+45x）平方米．
故答案为：（﹣10x2+45x）．
（2）依题意得：25×20﹣（﹣10x2+45x）﹣（5x）2＝440，
整理得：x2+3x﹣4＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣4（不合题意，舍去）．
答：这时道路宽度x的值为1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出花园内的小路面积；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
12．（2022春•海陵区校级期末）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．
（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？
（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．
【分析】（1）设每盒的售价为x元，则月销量为（570﹣20x）盒，根据月销量不低于270盒，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）利用月销售利润＝每盒的销售利润×月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每盒的售价为x元，则月销量为330﹣20（x﹣12）＝（570﹣20x）（盒），
依题意得：570﹣20x≥270，
解得：x≤15．
答：每盒售价最高为15元；
（2）依题意得：（15﹣2a﹣8）×（270+60a）＝1650，
解得：a1＝1，a2＝﹣2（不合题意，舍去）．
答：a的值为1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．

一．选择题（共4小题）
1．（2021秋•沭阳县校级月考）把一块长与宽之比为2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（　　）
A．（2x﹣20）（x﹣20）＝1500 B．10（2x﹣10）（x﹣10）＝1500
C．10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500 D．10（x﹣10）（x﹣20）＝1500
【分析】如果设铁皮的宽为x厘米，那么铁皮的长为2x厘米，根据“这个盒子的容积是1500立方厘米”，可列出方程．
【解答】解：设铁皮的宽为x厘米，
那么铁皮的长为2x厘米，
依题意得10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500．
故选：C．
【点评】本题中隐藏的条件是长方体盒子的高为10厘米，然后利用体积公式列出方程．
2．（2021秋•工业园区校级月考）某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两人之间都握了一次手，所有人共握了45次手，设共有x位同学聚会，则x满足的关系式为（　　）
A．12x（x+1）＝45 B．12x（x﹣1）＝45
C．x（x+1）＝45 D．x（x﹣1）＝45
【分析】此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为12x（x﹣1）解决问题即可．
【解答】解：由题意列方程得，
12x（x﹣1）＝45．
故选：B．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，主要由x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为12x（x﹣1），利用这一基本数量关系类比运用解决问题．
3．（2022春•福山区期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是（x+x+2）2．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5．则在下面四个构图中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意，画出方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．
【解答】解：方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图如图所示；

中间小正方形的边长为x﹣（x﹣5）＝5，其面积为25，
大正方形的面积：（x+x﹣5）2＝4x（x﹣5）+25＝4×6+25＝49，其边长为7，
因此，D选项所表示的图形符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
4．（2022秋•铜山区校级月考）可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=a2，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（　　）

A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，可得BD2+aBD＝b2，从而可得BD的长该方程方程x2+ax＝b2的一个正根．
【解答】解：∵AD＝AC=a2，
∴AB＝AD+BD=a2+BD，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（a2）2+b2＝（a2+BD）2，
∴a24+b2=a24+aBD+BD2，
∴BD2+aBD＝b2，
∵BD2+aBD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且BD的长度是正数，
∴BD的长该方程x2+ax＝b2的一个正根，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，利用勾股定理及各边长得出BD2+aBD＝b2是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
5．（2021秋•溧阳市期末）老李有一块长方形菜地（长大于宽），面积为180m2，他利用菜地宽处修了一个宽为3m的蓄水池，修完后老李发现他的菜地刚好变成一个正方形菜地．那么老李原来的菜地周长为 　54　m．
【分析】根据“如果它的长减少3m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多3m，利用矩形的面积公式列出方程即可．
【解答】解：∵长减少3m，菜地就变成正方形，
∴设长方形的宽为xm，则长为（x+3）m，
根据题意得：x（x+3）＝180，
解得：x1＝12，x2＝﹣15（不符合题意，舍去），
则x+3＝15，
这个长方形菜地的长为15m，宽为12m，
所以老李原来的菜地周长为：2×（15+12）＝54m．
故答案为：54．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找到等量关系．
6．（2022•广陵区校级一模）如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 　2　m．

【分析】将矩形绿地平移后，根据图中的等量关系列出方程即可求出答案．
【解答】解：设人行通道的宽度为x，
将矩形绿地平移，如图所示，
∴AB＝2x，GD＝3x，ED＝24﹣2x
由题意可列出方程：36×24﹣600＝2x×36+3x（24﹣2x）
解得：x＝2或x＝22（不合题意，舍去）
故答案为：2

【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．
7．（2021秋•锡山区校级月考）《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x+m＝0，构造图2，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为 　46−6　．

【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3，先计算出大正方形的面积＝阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【解答】解：x2+12x+m＝0，
x2+12x＝﹣m，
∵阴影部分的面积为60，
∴x2+12x＝60，
设4a＝12，
则a＝3，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，
再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，
得到大正方形的面积为60+32×4＝60+36＝96，
则该方程的正数解为96−6＝46−6，
故答案为：46−6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2022春•惠山区期末）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，线段BF、DG、CG和GF中，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为 　DG　．

【分析】首先根据方程x2+x﹣1＝0解出正根为5−12，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF＝0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG＝m，则GC＝1﹣m，从而可以用m表示等式．
【解答】解：设DG＝m，则GC＝1﹣m．
由题意可知：△ADG≌△AHG，F是BC的中点，
∴DG＝GH＝m，FC＝0.5，
根据勾股定理得AF=52．
∵S正方形＝S△ABF+S△ADG+S△CGF+S△AGF，
∴1×1=12×1×12+12×1×m+12×12×（1﹣m）+12×52×m，
∴m=5−12．
∵x2+x﹣1＝0的解为：x=−1±52，
∴取正值为x=5−12．
∴这条线段是线段DG．
故答案为：DG．
【点评】此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
9．（2021•兴化市模拟）某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．
（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？
【分析】（1）根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可求出结论；
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）．
答：每天的销售利润为1050元．
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，
依题意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（不符合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为50元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2022秋•建湖县校级月考）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　24﹣3x　米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．

【分析】（1）用绳子的总长减去三个AB的长，然后加上两个门的长即可表示出AD的长；
（2）由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长边为22﹣3x+2，令面积为45，解得x．
【解答】解：（1）设宽AB为x，
则长AD＝BC＝22﹣3x+2＝（24﹣3x）米；

（2）由题意可得：（22﹣3x+2）x＝45，
解得：x1＝3；x2＝5，
∴当AB＝3时，BC＝15＞14，不符合题意舍去，
当AB＝5时，BC＝9，满足题意．
答：花圃的长为9米，宽为5米．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，用未知数表示出线段的长是解题的关键．
11．（2022秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？

【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出△PQB的面积为12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．
【解答】解：如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB=12•PB•QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．
根据题意，12•（6﹣t）•t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t1＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．

【点评】本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题．
12．（2022秋•宜兴市月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？

【分析】（1）设经过x秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（2）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜t≤4）；②点P在线段AB上，点Q在线段CB上（4＜t≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（t＞6）；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，
∴12（6﹣x）•2x=12×12×6×8，
∴x2﹣6x+12＝0，
∵b2﹣4ac＜0，
此方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；

（2）设t秒后，△PBQ的面积为1
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时
此时0＜t≤4
由题意知：12（6﹣t）（8﹣2t）＝1，
整理得：t2﹣10t+23＝0，
解得：t1＝5+2（不合题意，应舍去），t2＝5−2，
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时
此时4＜t≤6，
由题意知：12（6﹣t）（2t﹣8）＝1，
整理得：t2﹣10t+25＝0，
解得：t1＝t2＝5，
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时
此时t＞6，
由题意知：12（t﹣6）（2t﹣8）＝1，
整理得：t2﹣10t+23＝0，
解得：t1＝5+2，t2＝5−2，（不合题意，应舍去），
综上所述，经过5−2秒、5秒或5+2秒后，△PBQ的面积为1．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．