上海市进德中学2022-2023学年上学期期中质量检测九年级数学试卷 (含答案)

2022-2023学年上海市浦东新区进德中学九年级（上）期中

数学试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．在中，，，，那么等于　　

A． B． C． D．

2．抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

3．已知，下列说法中不正确的是　　

A． B．与方向相同 C． D．

4．如图，在四边形中，如果，那么下列条件中不能判定和相似的是　　

A． B．是的平分线 

C． D．

5．如图，是放置在正方形网格中的一个角，则的值为　　

A． B． C． D．

6．已知二次函数的图象上有，、，两个点，则　　

A． B． C． D．无法确定

二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．已知，那么　　．

8．抛物线经过点，那么　　．

9．如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的周长之比等于 　　．

10．二次函数图象上的最低点的纵坐标为 　　．

11．已知点是线段的黄金分割点，．若，则　　．

12．在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴夹角为，那么角的余弦值是　 　．

13．如图所示，在中，，交于点，，，则　　．

14．如果抛物线与轴的一个交点为，那么与轴的另一个交点的坐标是　 　．

15．已知在中，，，，点是的重心，那么点到斜边的距离是 　　．

16．如图，四边形中，，对角线，交于点，已知，　　．

17．如图，在中，，，为中点，在线段上，，则　　．

18．若内一点满足，则称点为的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名．如图，已知中，，为的布罗卡尔点，若，则　　．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）计算：．

20．（10分）如图，已知二次函数的对称轴为，过点．

（1）求出，的值；

（2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标．

21．（10分）如图，已知在中，，垂足为点，，，，点是边的中点．

（1）求边的长；

（2）求的正切值．

22．（10分）如图，为了测量建筑物的高度，先从与建筑物的底部点水平相距100米的点处出发，沿斜坡行走至坡顶处，斜坡的坡度，坡顶到的距离米，在点处测得建筑物顶端点的仰角为，点、、、、在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物的高度（结果精确到1米）（参考数据：；；

23．（12分）已知：如图，已知与均为等腰三角形，，．如果点在边上，且．点为与的交点．

（1）求证：；

（2）求证：．

24．（12分）如图，抛物线经过点，点．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）是抛物线对称轴上的点，联结、，如果，求点的坐标；

（3）将抛物线沿轴向下平移个单位，所得新抛物线与轴交于点，过点作轴交新抛物线于点，射线交新抛物线于点，如果，求的值．

25．（14分）在中，，，，为边上一动点（点与点、不重合），联结，过点作交边于点．

（1）如图，当时，求的长；

（2）设，，求关于的函数解析式并写出函数定义域；

（3）把沿直线翻折得，联结，当是等腰三角形时，直接写出的长．

参考答案与试题解析

1．【解答】解：，，，

．

故选：．

2．【解答】解：，

顶点坐标为，

故选：．

3．【解答】解：、由知：，原说法不正确，符合题意；

、由知：与的方向相同，原说法正确，不符合题意；

、由知：与的方向相同，则，原说法正确，不符合题意；

、由知：，原说法正确，不符合题意．

故选：．

4．【解答】解：在和中，，

如果，需满足的条件有：

①或是的平分线；

②；

故选：．

5．【解答】解：连接．

点、、在格点上，

，

，

．

，

．

是直角三角形．

．

故选：．

6．【解答】解：

抛物线开口向上，对称轴为，开口向上．

点横坐标到对称轴的距离是，

点到横坐标对称轴的距离是，

．

故选：．

7．【解答】解：，

，

．

故答案为：．

8．【解答】解：把点代入得：，

解得，

故答案为1．

9．【解答】解：两个相似三角形对应边之比是，

它们的周长之比等于，

故答案为：．

10．【解答】解：，

抛物线最低点坐标为．

故答案为．

11．【解答】解：由于为线段的黄金分割点，

且是较长线段；

则．

12．【解答】解：在直角坐标平面内有一点，

，

．

故答案为：．

13．【解答】解：因为四边形为平行四边形，

所以，

所以．

故答案为：．

14．【解答】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为，

抛物线与轴的另一交点坐标为，即．

故答案为：．

15．【解答】解：过点作于，过点作于，如图．

在中，，，，

，

，

，

是的重心，

，

，

，，

，

，

，

．

故答案为：．

16．【解答】解：作于点，作于点，如图所示，

，

，

，，

，

又，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

17．【解答】解：为中点，

．

当时，，则．

当与不平行时，，．

故答案是：或．

18．【解答】解：过作于，如图：

，，，

，，

，，

，

为的布罗卡尔点，

，

，

，

，

，，

，

，，

故答案为：．

19．【解答】解：原式

．

20．【解答】解：（1）二次函数的对称轴为，

，

，

，

过点，

；

（2）点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，

设，，

设直线的解析式为，

则，

解得：，

直线的解析式为，

设直线与抛物线对称轴交于点，则，

，

，

，

解得：或（舍去），

点的坐标为．

21．【解答】解：（1），

，

，

，

，

；

（2）过点作于点．

，，

，

，

，

，

，

．

22．【解答】解：过作于，

则，米，

斜坡的坡度，坡顶到的距离米，

（米，

（米，

在中，，

，

（米，

（米，

即建筑物的高度约为68米．

23．【解答】证明：（1），

，

，

；

（2），

，

，

，

，

，

，

，

，

即．

24．【解答】解：（1）抛物线经过点，点

，解得

抛物线解析式为，

（2），

对称轴为直线，如图1，过点作轴，垂足为，

，，

，

，

，

（3）如图2

设新抛物线的表达式为

则，，

过点作轴，垂足为，

，

，

，

①点在轴的正半轴上，则，

，

，

②点在轴的负半轴上，则，

，

，

综上所述的值为3或5．

25．【解答】解：（1），

，

，

，

，，

，

，

，

，

．

（2）如图1中，作于．

在中，，，，

，

，

，，，

，，

，

，

，

．

（3）①如图中，设交于，作于，于，于

，，

，

，

由，

可得，，

，

，，，

，

，

，

．

②如图中，当交的延长线于时，同法可得，

．