2023届高三数学一轮复习大题专练12导数有解问题2

一轮大题专练12—导数（有解问题2）

1．已知函数，，，．

（1）当时，求证：；

（2）若函数有两个零点，求的取值范围．

解：（1）证明：当时，，

则，

，

因为，，

所以，，

因此，

所以在，上单调递增，

于是，

因此在，上单调递增，

所以 ．

（2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，

此时函数仅有1个零点，

当时，因为，

所以，

，

当，时，，单调递增，

当，时，，

因为，，

所以，所以单调递增，

又，，

因此在，上存在唯一的零点，且．

当时，，所以单调递减，

当，时，，所以单调递增，

又，，，

因此在，上存在唯一的零点，且，，

当时，，所以单调递减，

当，时，，所以单调递增，

又 ， ，，

所以在，上存在唯一零点，

因此在，上有两个零点，

综上，的取值范围是，．

2．已知函数．

（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；

（2）若有两个零点，求实数的取值范围．

解：（1）当时，，

，

因为，，

所以曲线在点，处的切线方程为．

（2）因为有两个零点，所以方程有两个不同的根，

即关于的方程有两个不同的解，

当时，方程不成立，所以，

令，则与的图象有两个交点，

且，

令，得或，令，得或，

所以在上单调递增，在上单调递减，

当时，取得极大值，

当时，取得极小值（1），

因为，且当时，，

所以的取值范围是．

3．已知函数．

（1）若，讨论的单调性；

（2）已知，若方程在有且只有两个解，求实数的取值范围．

解：（1）依题可得，定义域为，

所以．

当时，由，得，由，得，

则的单调递减区间为，单调递增区间为．

当时，由，得，由，得或，

则的单调递减区间为，单调递增区间为和．

当时，恒成立，则的单调递增区间为．

当时，由，得，由，得或，

则的单调递减区间为，单调递增区间为和．

（2）．

方程在有且只有两个解，即关于方程在上有两个不相等的实数根．

令，，则．

令，，则，

因为在上恒成立，故在上单调递增．

因为（1），所以当时，有，即，所以单调递减；

当，时，有，即，所以单调递增．

因为，（1），，

所以的取值范围是．

4．已知实数，设函数，．

（Ⅰ）若，讨论的单调性；

（Ⅱ）若方程有唯一实根，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）若，则，令，

令，解得或，令，解得，

函数在，单调递增，在单调递减；

（Ⅱ）①当时，显然只有一个零点，即方程有唯一实根；

②当时，令，则，即有唯一实数解，

当时，则，，而，显然无解；

当时，若，则，而，显然无解，则，

令，则它们的图象有且仅有一个交点，

注意到，且在处取得等号，考虑的情况，可得，即直线与函数，分别交于点和，

（A）若，则；

（B）若，则，时，，则存在唯一交点；

（C）若，则（a）（a），，由零点存在性定理可知，存在唯一交点；

综上所述，实数的取值范围为，．

5．已知函数和．

（Ⅰ）若曲线和在处的切线斜率都为，求和；

（Ⅱ）若方程在区间，上有解，求的取值范围．

解：（Ⅰ）函数的导数为，

所以曲线在处的切线的斜率为①，

的导数为，

所以曲线在处的切线的斜率为②，

由①②，解得，；

（Ⅱ）方程在区间，上有解，

则在区间，上有解，

设，则，

当时，，递增；

当时，，，递减．

所以的最大值为（1），

所以，所以．

令，则，

由的导数为，可得在递增，递减，

则的最小值为（1），即有恒成立，

所以，所以，

所以在，递减，在，递增，

所以在处取得最小值1，

因为与相交有解，．

（e），（e），

所以（1），所以，

所以的取值范围为．

6．已知函数，其中，令．

（1）求证：当时，无极值点；

（2）若函数，是否存在实数，使得在处取得极小值？并说明理由．

解：（1）证明：，则，

显然，，当时，，

在上为增函数，无极值点；

（2）存在，使得在处取得极小值．理由如下：

，则，

显然是的极小值点的必要条件为，解得，此时，

显然当时，；

当时，，故，

令，则，故在上为减函数，

故当时，，即，

令，则，当时，，故在单调递增，

故当时，，即，

故当时，，

因此，当时，是的极小值点，即充分性也成立．

综上，存在，使得在处取得极小值．

7．已知函数，．

（1）若时，函数有极小值，试确定的取值范围；

（2）当时，函数在，上的最大值为，若存在，，使得成立，求实数的取值范围．

解：（1）函数的定义域为，，

①当时，，令，解得，令，解得，

在上单调递增，在上单调递减，此时无极小值；

②当时，令，解得或，

当时，，令，解得或，令，解得，

在上单调递增，在上单调递减，此时在处取得极小值，符合题意；

当时，，令，解得，令，解得，

在上单调递增，在上单调递减，此时无极小值；

综上，实数的取值范围为；

（2）由（1）知，当时，函数在上是增函数，在上是减函数，

，

存在，，使得成立，即存在，，使成立，只需函数在，上的最大值大于等于，

，解得，

故实数的取值范围为．