2023届高三数学一轮复习大题专练03导数极值极值点问题1含解析

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一轮大题专练3—导数（极值、极值点问题1）
1．已知函数．
（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程．
（2）若，证明：存在极小值．
（1）解：当时，，
所以．
所以（1），（1）．
所以曲线在点，（1）处的切线方程为，
即．
（2）证明：由，得．
令，则．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为（1）．
因为，所以（1），．
因为在上单调递增，
所以存在，使得，
在上，，在，上，，
即在上，，在，上，，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以存在极小值．
2．已知函数，．
（1）若，函数图象上所有点处的切线中，切线斜率的最小值为2，求切线斜率取到最小值时的切线方程；
（2）若有两个极值点，且所有极值的和不小于，求的取值范围．
解：（1），，
当时，，当且仅当，即时取等号，取得最小值，
所以，又（1），
所以，此时切线方程，即；
（2），，
则，
因为有两个极值点，所以在时有两不等根，设为，，
所以，
解得，且，，

，
令，则，，
所以单调递减且，
由，
所以．
3．已知函数的最小值为0．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设函数，证明：有两个极值点，，且．
解：（Ⅰ），定义域是，
，
时，，在递增，无最小值，不合题意，
时，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故（a），解得：，
综上：；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），
则，
，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在，递增，
故，而，（1），
故有2个零点，，其中，，
由，得：，
故，当且仅当时“”成立，
显然“”不成立，
故．
4．已知函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在，上有两个极值点，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）当时，，
则，
因为，
所以当时，，即在此区间上单调递减，
当时，，即在此区间上单调递增，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
（Ⅱ）设函数，
令，
则在，上有两个不同的零点，
，
故当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
又在，上有两个不同的零点，
所以，即，解得，
故实数的取值范围为．
5．已知，．
（1）当时，求证：对任意，；
（2）若是函数的极大值点，求的取值范围．
解：（1）证明：当时，，
则，
当时，，
令，
则，
所以在上单调递增，
又，
所以当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，
所以对任意，，
（2）

，
令，
的正负与的单调性有关，且，
所以，
令，
所以，
所以当，时，，
当，时，，
，
所以，时，，
所以在，上单调递增，，
当，即时，时，，，
所以在上单调递增，
又因为，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，不合题意，
所以舍去，
当时，即，，使得在，恒为负，
所以在，上成立，
所以在，上单调递减，且，
所以，时，，，单调递增，
时，，，单调递减，
所以在处取得极大值，
所以，
综上所述，的取值范围为．
6．已知函数，．
（1）若在，（1）处的切线斜率为，求函数的单调区间；
（2），若是的极大值点，求的取值范围．
解：（1）的定义域是，，
（1），，
，
令，解得：，，
令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在，递减，在，递增，
即的递增区间是和，，递减区间是，．
（2）由题意得，，
，，
令，则，，
若，当时，单调递增，
故在上单调递增，
又，，
故存在，使得，
故当时，，
在上单调递减，又，
故当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，符合题意，
若，当时，，
故在递增，，在上递增，
故不可能是的极大值点，
综上，当是的极大值点时，的取值范围是．