苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数图片ppt课件

10.1　两角和与差的三角函数

10.1.1　两角和与差的余弦

知识点　两角和与差的余弦公式

(1)两角差的余弦公式

C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．

(2)两角和的余弦公式

C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．

cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？

[提示]　不成立．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β． (　　)

(2)cos 105°＝cos 45° cos 60°－sin 45°sin 60°． (　　)

(3)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0． (　　)

(4)coscos＋sinsin＝cos 2α． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

2．cos 75°＝________；cos 15°＝________．

　　[cos 75°＝cos(30°＋45°)

＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝；

cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 30°sin 45°＝．]

类型1　两角和与差的余弦公式的简单应用

【例1】　求下列各式的值：

(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；

(2)；

(3)cos 15°＋sin 15°．

[解]　(1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝．

(2)原式＝＝＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝．

(3)∵cos 60°＝，sin 60°＝，

∴cos 15°＋sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝．

1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．

2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．

提醒：要重视诱导公式在角和函数名称的差异中的转化作用．

[跟进训练]

1．求下列各式的值．

(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；

(2)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°；

(3)．

[解]　(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°

＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°

＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝．

(2)原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36°

＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝．

(3)原式＝

＝

＝

＝

＝．

类型2　已知三角函数值求角

【例2】　已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β的值．

以同角三角函数的基本关系为切入点，求得cos α，sin β的值，在此基础上，借助cosα＋β的公式及α＋β的范围，求得α＋β的值.

[解]　因为α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，

所以cos α＝＝＝，sin β＝＝＝，

故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝．

由0<α<，0<β<，得0<α＋β<π．

因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，

所以α＋β＝．

已知三角函数值求角，一般分三步：

第一步：求角的某一三角函数值该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数；

第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围；

第三步：根据角的范围写出所求的角.

[跟进训练]

2．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．

[解]　由cos α＝，0<α<，

得sin α＝＝＝．

由0<β<α<，得0<α－β<．

又∵cos(α－β)＝，

∴sin(α－β)＝＝＝．

由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，

∴β＝．

类型3　给值求值问题

【例3】　(对接教材P51例3)已知sin α＝－，sin β＝，且π<α<，<β<π，求cos(α－β)．

[解]　∵sin α＝－，π<α<，

∴cos α＝－＝－．

又∵sin β＝，<β<π，

∴cos β＝－＝－，

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝．

1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．

2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：

α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．

提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．

[跟进训练]

3．已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．

[解]　∵α，β均为锐角，

∴sin α＝，sin β＝．

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

＝×＋×＝．

又sin α<sin β，∴0<α<β<，

∴－<α－β<0．故α－β＝－．

1．cos 20°等于(　　)

A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°

B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°

C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°

D．sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°

[答案]　B

2．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为(　　)

A．－  B．  C．－  D．

B　[原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]

＝cos(－60°)＝cos 60°＝．]

3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos αcos β的值为(　　)

A．0  B．  C．  D．

A　[cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，

∴2cos αcos β＝0．

∴cos αcos β＝0．]

4．cos 105°＋sin 195°＝________．

　[cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(105°＋90°)

＝cos 105°＋cos 105°

＝2cos(135°－30°)

＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)

＝2＝．]

5．若sin α＝，α∈，则cos 的值为________．

－　[∵α∈，sin α＝，

∴cos α＝－．

∴cos＝coscos α＋sinsin α

＝×＋×

＝－．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．两角和与差的余弦公式各有什么结构特征？

[提示]　(1)

简记为：“余余正正，符号相反”．

(2)

简记为：“余余正正，符号相反”．

2．已知cos(α＋β)和sin β的值，如何求cos α的值？

[提示]　由α＝(α＋β)－β可知，cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β，故可先求出sin(α＋β)及cos β的值，代入上式求得cos α的值．