初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数5 二次函数与一元二次方程第1课时教学设计及反思

这是一份初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数5 二次函数与一元二次方程第1课时教学设计及反思，共5页。教案主要包含了预习新知，合作探究等内容，欢迎下载使用。
第二章　二次函数5　二次函数与一元二次方程第1课时　二次函数与一元二次方程的关系教学目标1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系．3.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数的关系．教学重难点重点：把握二次函数图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．难点：理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标.教学过程导入新课我们学习了一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）和一次函数y＝kx＋b（k≠0）后，讨论了它们之间的关系，请同学们回顾一下它们二者之间有何关系？问题1：一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（，）,一元一次方程x＋2＝0的根为________．问题2：一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（，）,一元一次方程－3x＋6＝0的根为________．问题3：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？让学生独立解决上面的三个问题，学生口答，教师展示答案.借此引导学生回顾总结一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）和一次函数y＝kx＋b（k≠0）之间的关系.一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根．现在我们学习了一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0），它们之间是否也存在一定的关系呢？由此引出本节要研究的课题.设计意图：首先利用所学习过的一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）和一次函数y＝kx＋b（k≠0）的关系进行回顾，让学生进一步理解和掌握所学知识，为本课的学习做铺垫，最后提出问题“一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？”激发学生学习的兴趣.探究新知一、预习新知多媒体展示我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么(1)h与t的关系式是什么？(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.教师引导学生仔细审题，回答下面的问题：1.由图象可得h0＝　　　　，v0＝　　　　. 2.由h与t的关系式为h＝－5t2＋v0t＋h0，可得h与t的关系式为　　　　. 生：h与t的关系式为h＝－5t2＋v0t＋h0，其中的v0为40 m/s，小球从地面被抛起，所以h0＝0.把v0＝40，h0＝0代入上式即可求出h与t的关系式，所以h＝－5t2＋40t.师：怎样求出小球落地所需要的时间?思路一教师引导学生通过观察图象得出结论，学生观察、分析、讨论后，师生统一答案.生1：观察图象可得小球经过8 s后落地.思路二教师引导学生仔细审题，回答下面的问题：师：小球落地时高度h为何值？生：h为0.师：求出的一元二次方程的两个解是否都满足题意？教师要求学生思考后，与同伴交流，教师巡视并参与讨论，及时订正学生出现的错误.学生独立完成后，同伴交流，代表板演解题过程.解：令h＝0，得－5t2＋40t＝0，即t2－8t＝0，∴t(t－8)＝0.解得t1＝0，t2＝8.∵t＝0是小球没抛时的时间，∴t＝8是小球落地时的时间.∴小球经过8 s后落地.教师点评：两种方法一个运用“数”，一个运用了“形”，再次体现了数形结合的数学思想方法.设计意图：通过实际问题的解答，使学生进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的关系，同时利用两种不同的方法进行求解，体现了解题方法的灵活性，同时也使学生进一步感受到数形结合的解题思想.二、合作探究二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax²＋bx＋c＝0根的个数之间有什么关系？图象与x轴的交点的横坐标与方程的根又有什么关系？多媒体展示课本中的议一议.二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象分别如图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗?(3)二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标和一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根有什么关系?教师组织学生观察图象，对学生进行分组：共分六个组，两两合作，共同完成第(1)(2)(3)题.各组分别讨论，教师巡回指导并参与各小组讨论，最后找学生代表阐述观点.第一组得出二次函数y＝x2＋2x与x轴有两个交点，第二组得出方程x2＋2x＝0有两个不相等的实数根.第三组得出二次函数y＝x2－2x＋1与x轴有一个交点，第四组得出方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根.第五组得出二次函数y＝x2－2x＋2与x轴没有公共点，第六组得出方程x2－2x＋2＝0没有实数根.学生总结，教师点评：二次函数与一元二次方程之间的关系：二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根（b2－4ac>0）、有两个相等的实数根（b2－4ac＝0）、没有实数根（b2－4ac<0）.二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根.设计意图：通过对三个函数图象与x轴交点的观察、对一元二次方程根的求解，让学生进一步掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，提高发现问题、解决问题的能力.典型例题【例】求二次函数y＝－(x－2)2＋1的图象与x轴的交点坐标．【问题探索】求二次函数的图象与x轴的交点坐标，只需令y＝0，求出x的值即可．【解】令y＝－(x－2)2＋1＝0，解得x1＝0，x2＝4.∴二次函数y＝－(x－2)2＋1的图象与x轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)．【总结】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标． 课堂练习1.抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是(　　)A.3个 B.2个C.1个 D.0个2.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　)A.无解                          B.x＝1C.x＝－4                        D.x1＝－1，x2＝43.若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为___________.4.已知二次函数y＝2x2－mx－m2.(1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为(1，0)，求B点坐标. 参考答案1.A　2.D3.－14.(1)证明：2x2－mx－m2＝0，Δ＝(－m)2－4×2×(－m2)＝9m2.∵m2≥0，∴9m2≥0，∴对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点.　（2）解：把(1，0)代入二次函数表达式，得2－m－m2＝0，∴m1＝－2，m2＝1.当m＝－2时，二次函数表达式为y＝2x2＋2x－4,令y＝0，得2x2＋2x－4＝0，解得x＝1或x＝－2，∴二次函数图象与x轴的两个公共点的坐标是(1，0)，(－2，0).又∵A点坐标为(1，0)，∴B(－2，0).当m＝1时，同理可得B.课堂小结(学生总结，老师点评)1.二次函数与一元二次方程有下列对应关系：二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况b2-4ac的值有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac>0只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac<02.若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0，0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根．  板书设计第二章　二次函数5　二次函数与一元二次方程第1课时　二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.2.二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根.教学反思                                    教学反思                                          教学反思                                          教学反思                                         教学反思