2022-2023学年山东省菏泽市鄄城县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省菏泽市鄄城县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1.    同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现两个正面朝上的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列命题是假命题的是(    )

A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 四个内角都相等的四边形是矩形 D. 既是菱形又是矩形的四边形是正方形

3.    如果，那么的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.    方程的根的情况是(    )

A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根

5.    如图，菱形花坛的周长为，，沿着菱形的对角线修建两条小路和，则小路的长是(    )

A.
B.
C.
D.

6.    如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台的长为米，一名主持人现在站在处，则她至少走多少米才最理想(    )

A.  B.
C.  D. 或

7.    随着科技的快速发展，电子产品的成本逐渐降低，某品牌手机每部零售价元，经过连续两次降价后零售价为元，则平均每次降价的百分率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，正方形的边长为，点是对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列五个结论：；且；；的最小值为；，其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9.    一个不透明的盒子里装有除颜色外无其它差别的白珠子颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在左右，则盒子中黑珠子可能有          颗．
10. 如图，已知，添加条件______后，使∽．

11. 如图，矩形的对角线、相交于点，，则矩形的面积为______ ．

12. 已知是方程的一个根，则它的另一个根为______．
13. 如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分的面积为______．

14. 如图，在边长为的正方形中，是边的中点，在边上，且，连接，则的长为______．

三、选择题（本大题共10小题，共78分）

15. 用适当的方法解下列方程：
    ．
    ．
16. 为了迎接文艺汇演，甲班选出了名女生候选人，乙班选出了一男一女两名候选人，要从这名同学中选出名同学担任文艺汇演的主持人，求下列事件的概率：
    求所选的名主持人性别相同的概率；
    求所选的名同学来自同一个班级的概率．
17. 如图，在中，，交于点，交于点，若，，求的长．

18. 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，并给出了格点顶点为网格线的交点．
    画出关于轴对称的；
    以点为位似中心，将作位似变换得到，使得，画出位似变换后的，此时点坐标为______；
    和之间的位置关系为______．

19. 如图，已知是斜边上的中线，过点作，过点作，两线相交于点．
    求证：∽；
    若，，求的长．

20. 已知关于的一元二次方程．
    若方程有不相等实数根，求的取值范围．
    若方程有两个相等实数根，求此时方程的根．
21. 如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为上一点，且．
    求证：∽；
    若，，求的长．

22. 西瓜经营户以元千克的价格购进一批小型西瓜，以元千克的价格出售，每天可售出千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价元千克，每天可多售出千克．另外，每天的房租等固定成本共元，设每千克小型西瓜降价元，解答下列问题：
    降价元后，每千克小西瓜的利润是______元，每天可售出______千克用含的式子表示；
    若该经营户要想每天盈利元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
23. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，点在线段上从点出发以的速度向点运动，点在线段上从点出发以的速度向点运动．
    若点，同时运动，设运动时间为，当为何值时，四边形是平行四边形？
    在的条件下，当为何值时，平行四边形是菱形？

24. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，在上，且，连接并延长至点，使，连接，，．
    当时，证明：四边形是矩形；
    当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，朝上的面所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中两个正面朝上的有种，
所以两个正面朝上的概率是，
故选：．
用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，符合题意；
C、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；
D、既是菱形又是矩形的四边形是正方形，正确，是真命题，不符合题意；
故选：．
利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
利用比例的性质由已知条件得到，则可用表示得到，然后把代入中进行分式的运算即可．
本题考查了比例的性质：熟练掌握常用的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，
，
所以方程没有实数根．
故选D．
把，，代入进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

5.【答案】 

【解析】解：菱形花坛周长是，，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，
，
；
故选：．
直接利用菱形的性质得出是等边三角形，由等腰三角形的性质得出的长，由勾股定理求出的长，进而求出．
此题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据菱形的性质和证得是等边三角形是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设点为的黄金分割点，
当时，；
当时，，则，
所以她至少走米才最理想．
故选：．
设点为的黄金分割点，利用黄金分割的定义，当时，；当时，，则，从而确定她至少走的路程．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．
 

7.【答案】 

【解析】解：设平均每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得：，舍去．
答：平均每次降价的百分率为．
故选：．
设平均每次降价的百分率为，根据原价及经两次降价后的价格为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据等量关系：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为列出方程是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，延长交于点，如图所示：

点是对角线上一点，
和的大小不能确定，
故选项不符合题意；
在正方形中，，，，
≌，
，，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，
，
故选项符合题意；
在矩形中，，
≌，
，
，
，
故选项符合题意；
，
根据勾股定理得，
当时，最小，
此时最小值为，
，
的最小值为，
故选项符合题意；
根据勾股定理，得，，
，
故选项符合题意；
综上，正确的选项有，
故选：．
连接，延长交于点，和的大小不能确定，可以判断选项；证明≌，再判定四边形是矩形，根据矩形的性质可以判断选项；根据全等三角形的性质和矩形的性质可判断选项；根据垂线段最短可判断选项；根据勾股定理以及矩形的性质可判断选项．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，垂线段最短，勾股定理等，构造全等三角形是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白珠子的频率得到相应的等量关系．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】
解：设黑珠子可能有颗，
由题意可得，，
解得，
经检验是分式方程的解．
故盒子中黑珠子可能有颗．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：添加条件后，∽理由如下：
，
，
即，
又，
∽．
故答案为．
先证出，再由，即可得出∽．
本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握三角形相似的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
矩形的面积，
故答案为：．
由矩形的性质可得，可证是等边三角形，可得，在中，由勾股定理可求，即可求解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，证明是等边三角形是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题直接根据根与系数的关系中的两根之积就可以求出另一个根．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．
【解答】
解：的一个根为，
另一个根．
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：过作于，于，
则，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过作于，于，则，先证四边形是平行四边形，再证，则平行四边形是菱形，得，然后由锐角三角函数定义求出，即可解决问题．
此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】证明：四边形是正方形，
，

把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图：
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
≌，
，
即：，
为的中点，边长为的正方形，
，，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：，
即．
故答案为：．
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，首先证明≌，进而得到，问题即可解决．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 

15.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用因式分解法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

16.【答案】解：甲班选出的名女生候选人分别用女，女表示，乙班选出的一男一女两名候选人分别用男，女表示，
画树形图得：

所以共有种等可能的结果，其中所选的名主持人性别相同的有种．
所选的名主持人性别相同的概率为；

共有种等可能的结果，其中所选的名同学来自同一个班级的有种，
所选的名同学来自同一个班级的概率是． 

【解析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；
根据概率公式列出算式，即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：如右图所示，
，
∽，
，
，
． 

【解析】由于，那么易得∽，利用比例线段易求的长．
本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．解题的关键是能根据得出∽．
 

18.【答案】   

【解析】解：如图，即为所求．

如图，即为所求，
点坐标为．
．
故答案为：．
利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可．
利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
根据平行线的定义判断即可．
本题考查作图位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握位似变换，轴对称变换的性质，正确作出图形．
 

19.【答案】证明：，
，
又，
，且是边上的中线，
，
即，
，
∽；
解：，，
，
即，
：：，
即：：，
． 

【解析】由是斜边上的中线，，，可得，即，进而可得出结论；
根据勾股定理求出的长，再根据相似三角形的性质列出比例式即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解题的关键．
 

20.【答案】解：若一元二次方程有不相等实数根，
且，
解得且．
故的取值范围是；
若一元二次方程有两个相等实数根，
且，
解得，
一元二次方程为，
解得． 

【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可；
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，依此即可求解．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
∽；
解：，，，
，
，
，
的长为． 

【解析】利用平行四边形的性质可得，，从而利用平行线的性质可得，，然后再结合已知，利用等角的补角相等可得，即可解答；
先利用平行四边形的面积求出的长，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】；．
解：依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：应将每千克小型西瓜的售价降低元或元． 

【解析】解：降价元后，每千克小西瓜的利润是：元；
每天可售出千克．
故答案为：；．
见答案．

利用每千克小西瓜的利润每千克的售价进价，即可用含的代数式表示出每千克小西瓜的利润；利用每天的销售量，即可用含的代数式表示出每天的销售量；
利用每天的利润每千克的利润每天的销售量固定成本，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出各量；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

23.【答案】解：若四边形为平行四边形，
则，，
四边形为平行四边形，，，
，，
，，
，
，
当为时，四边形是平行四边形；
若四边形是菱形，
则，
，
，
当为时，▱是菱形． 

【解析】若是平行四边形，所以，则，故有，即可求得值；
由菱形的性质得，再由勾股定理求出的长即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形．
，且，
又，
，且，
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形，

，
，
在平行四边形中，，
四边形是矩形；
解：当满足，且时，四边形是正方形，
证明：由可知：当时，四边形是矩形，
在中，，点是斜边的中点，
，
即，
当满足，且时，四边形是正方形． 

【解析】证明四边形是平行四边形．四边形是平行四边形．进而根据对角线相等的平行四边形是矩形即可解决问题；
根据直角三角形斜边的中线等于斜边一半即可解决问题．
本题主要考查了正方形的判定，直角三角形斜边的中线性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，关键在于应用全等三角形和正方形的知识解题．