2022-2023学年山东省菏泽市鄄城县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省菏泽市鄄城县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，，，，那么下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  有一个从不透明的袋子中摸球的游戏，这些球除颜色外都相同，小红根据游戏规则，作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是(    )

A. 随机摸出一个球后放回，再随机摸出个球
B. 随机摸出一个球后不放回，再随机摸出个球
C. 随机摸出一个球后放回，再随机摸出个球
D. 随机摸出一个球后不放回，再随机摸出个球

6.  如图，矩形与反比例函数是非零常数，的图象交于点，，与反比例函数是非零常数，的图象交于点，连接，若四边形的面积为，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，平行四边形的对角线相交于点，过点作，分别交，于点，，连接，请根据上述条件，写出一个正确结论．”
其中四位同学写出的结论如下：
小青：；小何：；
小夏：四边形是正方形；小雨：
这四位同学写出的结论中正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  二次函数的图象如图所示，则下列结论：；；，其中正确的个数是(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  如图，小莉用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的面积为，则影子的面积为______．

10.  如图所示的是一个面积为的正方形微信二维码，小明利用所学概率知识估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，他将若干次有效试验的结果点落在正方形区域外不计试验结果绘制成了如图所示的折线统计图，由此估计黑色部分的面积大约为______．

 

11.  将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为______ ．

12.  若，是方程的两个根，则 ______ ．

13.  如图，在中，，的正切值等于，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，点，，，处的读数分别为，，，，则直尺宽的长为______．

14.  如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去，则点的横坐标为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：；
解方程：．

16.  本小题分
已知：菱形的对角线，交于点，，求证：四边形是矩形．

17.  本小题分
如图所示的组合几何体，它的下面是一个长方体，上面是一个圆柱．

图和图是它的两个视图，在横线上分别填写两种视图的名称______填“主”、“左”或“俯”；
根据两个视图中的尺寸，计算这个组合几何体的表面积和体积．结果保留

18.  本小题分
如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字，，；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字，，的三个完全相同的小球小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字若指针指在分界线上则重转，小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字然后计算两个数字的和．
用画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
若得到的两数字之和是的倍数，则小杰胜；若得到的两数字之和是的倍数，则小玉胜分别求出两人获胜的概率．

19.  本小题分
国庆期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，图中反映的是调查员小王与超市老李的对话：根据他们的对话，解决下面所给问题：老李透露：他每天租金、损耗等要开支元；若超市每天还要获得元的销售利润，又要尽可能让顾客得到实惠，则这种水果的售价应定为多少元？

20.  本小题分
为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高米，学生身高米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点处测得摄像头的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点处测得摄像头的仰角为，求体温检测有效识别区域段的长结果保留根号

 

21.  本小题分
如图，点是菱形的对角线上一点，连结并延长，交于，交的延长线于点．
求证：．
如图，连接交于，连接，若，求证：∽．

 

22.  本小题分
如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
求，的值；
根据函数图象，直接写出不等式的解集；
若点在轴的正半轴上，且，垂足为点，求的面积．

23.  本小题分
将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，如图求证：四边形是正方形；
将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕，交于点，如图线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．

 

24.  本小题分
如图，已知二次函数的顶点是，且图象过点，与轴交于点．
求二次函数的解析式；
求直线的解析式；
在直线上方的抛物线上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
，
，
故选：．
根据一元二次方程的定义，可得，据此可得答案．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：根据视图的定义，选项B中的图形符合题意，
故选：．
根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义是正确判断的前提．

3.【答案】 

【解析】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，
则，即，
解得：，
故选：．
过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：中，，，，
，
，，，．
故选：．
先利用勾股定理计算出，然后根据正弦、余弦和正切的定义对各选项进行判断．
本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角的正弦、余弦和正切的定义是解决问题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：由树状图知，此次摸球的游戏规则是随机摸出一个球后放回，再随机摸出个球，
故选：．
结合树状图可得答案．
此题考查了用树状图法求概率的知识．注意掌握试验是放回实验还是不放回实验．

6.【答案】 

【解析】解：点、均在反比例函数是非零常数，的图象上，
，
矩形的顶点在反比例函数是非零常数，的图象上，
，
，
，
，
故选：．
根据反比例函数系数的几何意义即可得出结论．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，故小雨写的结论是正确的，
在和中，
，
≌，
，，，故小青写的结论是正确的，
四边形是平行四边形，
，
；故小何写的结论是正确的，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是菱形，故小夏写的结论是错误的，
故选：．
由平行线的性质可得，，故小雨写的结论是正确的，由“”可证≌，可得，，，故小青写的结论是正确的，由面积和差关系可得；故小何写的结论是正确的，可证平行四边形是菱形，故小夏写的结论是错误的，即可求解．
本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，
，错误；
抛物线与轴的交点为在轴的正半轴上，
，正确；
抛物线与轴有两个交点，
，正确．
有个正确的．
故选C．
由抛物线的开口向下得到，由此判定错误；
由抛物线与轴的交点为在轴的正半轴上得到，由此判定正确；
由抛物线与轴有两个交点得到，由此判定正确．
所以有个正确的．
考查二次函数系数符号的确定．

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
∽，
，
矩形的面积：矩形的面积，
矩形的面积为，
矩形的面积为．
故答案为：．
易得对应点到对应中心的比值，那么面积比为对应点到对应中心的比值的平方，据此求解可得．
本题考查中心投影与位似图形的性质，用到的知识点为：位似比为对应点到对应中心的比值，面积比为位似比的平方．

10.【答案】 

【解析】解：观察图发现点落在白色部分的频率逐渐稳定在附近，
估计点落在白色部分的概率为，
落在黑色部分的概率为，
据此可估计黑色部分的面积约为，
故答案为：．
用总面积乘以落入黑色部分的频率即可得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

11.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的顶点坐标是，
将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
主要考查的是函数图象的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题关键．

12.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个根，
，．
．
故答案为：．
先根据根与系数的关系求得，，再根据异分母分式的加法法则进行变形处理，然后整理整体代入计算即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
∽，
：：，
：：，
，
，
，
故答案为：．
由锐角的正切定义，相似三角形的性质，即可求解．
本题考查锐角的正切定义，相似三角形的性质，关键是掌握并灵活应用以上知识点．

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点、、、分别作轴，轴，轴，轴，垂足分别为、、、

直线的关系式为，，
是等腰直角三角形，
，
同理可得、、都是等腰直角三角形，
设，
则点，点在反比例函数的图象上，
，
解得：负值舍去，
点的横坐标为，
设，
则点，点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
点的横坐标为；
设，
则点，点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
点的横坐标为；
同理可得：点的横坐标为；
点的横坐标为；
点的横坐标为；

点的横坐标为：；
故答案为：．
根据直的关系式为，以及，可得到是等腰直角三角形，进而得到、都是等腰直角三角形，设，则点，点在反比例函数的图象上，可求出，进而得到点的横坐标为，同理，则点，求出点的横坐标为，同理得出点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；根据规律可得答案．
本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的关键．

15.【答案】解：


；
，
，
，
或，
解得：，． 

【解析】先把各特殊角的三角函数值代入，再求出即可；
先移项，再利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值的应用，能熟记解一元二次方程的解题思路和熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键．

16.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解题的关键．

17.【答案】左，俯 

【解析】解：如图，

故答案为：左，俯．
表面积为：，
体积为：．
答：这个组合几何体的表面积为，体积是．
找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
根据图形中的数据可知，长方体的长为，宽为，高为，圆柱的底面直径为，高为，根据体积和表面积表示方法进行计算即可．
本题考查简单组合体的三视图，根据三视图得出相关数据，依据相关计算方法进行计算是得出正确答案的前提．

18.【答案】解：用树状图表示出所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中两次之和是的倍数的有种，是的倍数的有种，
所以两次之和是的倍数的概率为，两次之和是的倍数的概率为，
答：小杰获胜的概率为，小玉获胜的概率是． 

【解析】利用树状图倍数所有可能出现的结果即可；
根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有可能出现的结果是正确解答的前提．

19.【答案】解：设每千克降元．
由题意得：，
整理得：，
解得：或；
要尽可能让顾客得到实惠，
；
售价为：元千克．
答：这种水果的售价应定为每千克元． 

【解析】设降价元，根据题意列出一元二次方程进行求解即可．
本题考查一元二次方程的应用．根据题意正确的列出方程是解题的关键．

20.【答案】解：由题意得，米，
米，
在中，，
解得，
在中，，
解得，
米．
答：体温检测有效识别区域段的长为米． 

【解析】由题意可求得米，分别在和中，利用三角函数的求出和，最后根据可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．

21.【答案】证明：四边形菱形，
，，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
∽． 

【解析】根据菱形的性质，首先利用证明≌，得，，再说明∽，得，即可证明结论；
根据菱形的性质可说明，从而证明结论．
本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明是解决问题的关键．

22.【答案】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，
，，
，；
，，
一次函数为，反比例函数解析式为，
解方程得，，，
，
不等式的解集为或；

由知点，
，
又，
，
点，
的面积． 

【解析】利用待定系数法即可求得；
解方程组得到，根据函数的图象即可得到结论；
联立方程组可求点坐标，由直角三角形的性质可求，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，直角三角形斜边中线的性质，三角形的面积公式，求得、点的坐标是本题的关键．

23.【答案】证明：是矩形，
，
将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，
，，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形；
解：．
证明：如图，连接，由知，，

四边形是矩形，
，，
由折叠知，，，
，，
又，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】由折叠性质得，，，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形为正方形；
连接，证明≌，得，便可得结论．
本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解决本题关键证明利用勾股定理构建方程．

24.【答案】解：是二次函数的顶点，
设二次函数的解析式为．
又图象过点，
代入可得，
解得，
或；
由可知，为．
设直线的解析式为：，
将和代入可得，
直线的解析式为：；

在直线上方的抛物线上，

可设其中，
过作轴，交于点．
则坐标为，
又，
，
解得，，，代入得或．
点坐标为或． 

【解析】设二次函数解析式为顶点式：，将点的坐标代入求得的值即可；
根据二次函数解析式求得点的坐标，利用待定系数法确定直线解析式；
由二次函数图象上点的坐标特征可设其中，结合三角形的面积公式可以求得点的坐标．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题关键．