2023荆州沙中学高三上学期第二次月考数学试题含答案

2022—2023学年度上学期2020级

第二次月考数学试卷

考试时间：2022年9月28日

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（    ）．

A.  B.  C.  D.

2．已知，，与的夹角为，则（    ）

A. 6 B.  C.  D.

3．若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（    ）．

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大､内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟､莫高窟三层楼16号窟､藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

5．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线与轴交于点，且，则点到准线的距离为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

6．函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

7．已知是边长为3的等边三角形，三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上，则三棱锥的体积的最大值为（    ）．

A.  B.  C.  D.

8．已知椭圆：与双曲线有公共的焦点､，为曲线､在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ）

A. 9 B.  C. 7 D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．某旅游景点2021年1月至9月每月最低气温与最高气温（单位：℃）的折线图如图，则（    ）．

A. 1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是4月

B. 1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系

C. 1月到9月的最高气温与最低气温的差逐步减小

D. 1月到9月的最低气温的极差比最高气温的极差大

10．已知是两个不同平面，是两条不同直线，则下述正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若是异面直线，则与相交

D. 若，则

11．已知为坐标原点，圆，则下列结论正确的是（    ）

A. 圆恒过原点

B. 圆与圆内切

C. 直线被圆所截得弦长的最大值为

D. 直线与圆相离

12．已知数列，均为递增数列，它们的前项和分别为，，且满足，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在的展开式中，x的系数是___________（用数字作答）.

14．若直线（，）被圆所截得的弦长为6，则的最小值为______.

15．已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.

16．矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为__________；设二面角的平面角为，当在内变化时，的范围为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围.

18．已知在中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边，，．

（1）求角B的大小；

（2）在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC边上的中线的长度．

①的面积为；②的周长为．

19．在四棱锥中，为正三角形，四边形为等腰梯形，M为棱AP的中点，且，.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

20．我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为，收益率为％的概率为；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为0.4，收益率为％的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5．

（1）已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目；

（2）若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4年累计投资数据如下表：

请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于的线性回归方程，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元．

附：收益＝投入的资金×获利的期望；

线性回归中，，．

21．设椭圆为左右焦点,为短轴端点,长轴长为4,焦距为,且,的面积为.

(Ⅰ)求椭圆的方程

(Ⅱ)设动直线椭圆有且仅有一个公共点,且与直线相交于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在求出点的坐标,若不存在.请说明理由.

22．已知函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数有两个极值点，，且恒成立（为自然对数的底数），求实数的取值范围.