甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高三上学期第四次检测数学（理）试题（含答案）

这是一份甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高三上学期第四次检测数学（理）试题（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则该双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．2
3．已知，则（ ）
A．6 B．2 C．4 D．3
4．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（ ）
A．增加了一项 B．增加了一项
C．增加了，又减少 D．增加了，又减少了
5．的展开式中的系数为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
6．函数（且）的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
7．设x为区间上的均匀随机数，执行如图所示的程序框图后，输出y的值落在区间上的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知随机变量满足，且．若，则（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
9．小王于2016年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2020年底，他没有再购买第二套房子．如图是2017年和2020年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）
A．小王一家2020年用于饮食的支出费用跟2017年相同
B．小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的3倍
C．小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍
D．小王一家2020年用于房贷的支出费用比2017年减少了
10．如图，在正方体中，E，F分别是的中点，过点，E，F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（ ）
A． B． C． D．
11．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．已知函数，若方程在区间上有且只有三个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为_____________．
14．有一个游戏，将标有数字1，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：
甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；
丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．
结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为_____________．
15．已知抛物线上一点，过点A作抛物线的两条弦，且，则直线经过的定点为_____________．
16．如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有_____________种．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
如图，在平面四边形中，．
（1）求；
（2）求．
18．（12分）
甲，乙两位同学参加数学建模比赛在备选的6道题中，甲答对每道题的概率都是；乙能答对其中的4道题．甲、乙两人都从备选的6道题中随机抽出4道题进行测试．规定至少答对3道题才能获奖．
（1）求甲同学在比赛中答对的题数X的分布列和数学期望；
（2）求比赛中甲、乙两人至少有一人获奖的概率．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，E是的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）
某企业为了提升行业核心竞争力，逐渐加大了科技投入．该企业连续6年来的科技投入x（百万元）与收益y（百万元）的数据统计如下：
并根据数据绘制散点图如图所示：
根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如表：
其中．
（1）（ⅰ）请根据表中数据，建立y关于x的回归方程（保留一位小数）；
（ⅱ）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年的收益达到2亿，则科技投入的费用少要多少？（其中）
（2）乙认为样本点分布在二次曲线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两位员工所建立的模型，谁的拟合效果更好．
附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计为．相关指数．
21．（12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，且，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于两点，Q是直线l上异于的一点，且满足．证明：点Q的横坐标是定值．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论在区间上的零点个数；
（2）令，当时，存在使成立，证明：．
参考答案及解析
一、选择题
1．B 【解析】由得，则集合．由得，则集合，所以．
2．B 【解析】双曲线的渐近线方程为．由双曲线的一条渐近线平行于直线，可得．则该双曲线的离心率为．
3．B 【解析】由题意知，则．因为，所以．
4．D 【解析】由题意，当时，左边；当时，左边，所以由递推到时，不等式左边增加了，又减少了．
5．C 【解析】展开式的通项为，又展开式中含的项为，所以的展开式中的系数为15．
6．C 【解析】由题意知函数的定义域为，关于原点对称，，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B；又由，排除D．
7．B 【解析】由程序框图，得即解得；解得，综上，x的取值范围是，所以所求概率为．
8．B 【解析】由题知变量的分布列均为两点分布．变量的分布列如下：
则．由得，即．因为，函数在区间上单调递增，所以．
9．B 【解析】由于小王选择的是每月还款数额相同的还贷方式，故可知2020年用于房贷方面的支出费用跟2017年相同，故D错误；设一年房贷支出费用为n，则可知2017年小王的家庭收入为，2020年小王的家庭收入为，，则小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了50%，故C错误；2017，2020年用于饮食的支出费用分别为，故A错误；2017，2020年用于其他方面的支出费用分别是，故B正确．
10．C 【解析】如图，作直线，分别交的延长线于M，N两点，连接，分别交于H，G两点，连接过点，E，F的截面即为五边形．
设正方体的棱长为，因为E，F分别是的中点，所以，即，因为，所以，则过点，E，F的截面下方几何体的体积为，所以另一部分体积为，所以．
11．D 【解析】设最上面一层放根，一共放层，则最下面一层放根，由等差数列前n项和公式得，所以．因为，所以n为264的因数，且为偶数，把各个选项分别代入验证，可得满足题意．
12．A 【解析】由题意，函数．令，得，即，所以或，所以或．当x取正数时，从小到大依次为．因为在区间上有且只有三个实数根，所以，解得．
二、填空题
13．26 【解析】初始值，第一次循环，不成立；第二次循环，不成立；第三次循环，成立，退出循环，输出S的值为26．
14．3 【解析】由乙、丙、丁所说均为假得甲拿4，由甲、乙所说均为假得丙拿1，由甲所说为假得乙拿2，故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4，2，1，3．
15． 【解析】设，则直线的方程为，又且均不为1，所以，整理得，又，即，得，所以，即直线经过定点．
16．72 【解析】如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，
分2种情况讨论：①当选用3种颜色的花卉时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案（种），②当4种不同颜色的花卉全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案（种），则不同的种植方案共有（种）．
三、解答题
17．解：（1）因为在中，，所以．
所以．
在中，，由正弦定理得．
（2）因为，所以．
在中，，由余弦定理得，
所以．
18．解：（1）由题意可知，
，
，
，
，
，
所以X的分布列如下：
所以．
（2）记“甲获奖”为事件A，设乙答对的题数为Y，“乙获奖”为事件B．
则；
．
记“甲、乙至少有一人获奖”为事件M，则为“甲、乙两人都未获奖”．
则
．
19．（1）证明：因为平面平面，所以．
因为，所以，
所以，所以．
又，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）解：如图，作，垂足为F，
以C为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，则．
取，则，即为平面的一个法向量．
设为平面的一个法向量，
则
即取，则，
故，
依题意，，解得，
所以，
．
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
20．解：（1）（ⅰ），
令，令，则，
根据最小二乘法公式可知，
，
故回归方程为，即．
（ⅱ）设，即，解得．
所以科技投入的费用至少要13.2百万元．
（2）因为，从而甲建立的模型的相关指数．
所以甲建立的回归模型拟合效果更好．
21．（1）解：因为椭圆的左、有焦点为，且，所以，
因为离心率为，即，可得，所以，所以椭圆的方程是．
（2）证明：因为，故直线的斜率存在，所以直线l的方程可设为，
联立消去y，整理得，
则．
因为点Q在直线l上，所以设点Q的坐标为，
则有．
因为，所以可得，
所以，可得，
所以点Q的横坐标是定值．
22．（1）解：由题意得且，
①若，即在区间上单调递增，又，
所以在区间上无零点．
②若，由，得，
当，即时，，
所以在区间上单调递增，又，
所以在区间上无零点．
当，即时，又在区间上单调递增，存在，使，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，所以，．
此时，若，即时，在区间上无零点．若，即时，在区间上有一个零点．
综上，当时，在区间上无零点；
当时，在区间上有一个零点；当时，在区间上无零点．
（2）证明：设，由，
得，即．
令，则，
即该函数在区间上单调递增，
所以，即，
所以，
所以．
要证，只需证明．
令，即，只需证明，
设，则当时，，
所以在区间上单调递减，，即成立，
所以，得证．x
2
4
6
8
10
12
y
5.6
6.5
12.0
27.5
80.0
129.2
43.5
4.5
298.5
34.7
12730.4
70.0
0
1
P
0
1
P
X
0
1
2
3
4
P