四川省绵阳第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份四川省绵阳第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题)，解答题)等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A=x∈N|2x2-5x≤7，B=y|y≤2，则A∩B=（ ）
A.⌀B.-1,0C.0,1,2D.-1,0,1,2

2. 已知向量a→=(2, 3)，b→=(1, 4)，c→=(k, 3)，(a→+b→)⊥c→，则实数k=( )
A.-7B.-2C.2D.7

3. 设α是第二象限角，P(x, 4)为其终边上的一点，且csα=x5，则tan2α=( )
A.-247B.127C.-127D.247

4. 若a>b>0, c∈R，则（ ）
A.1a>1bB.ac2>bc2
C.13ab|c+1|

5. 已知命题p：若x>1，则2x>1；命题q:∀x>0,lgx>0．那么下列命题为真命题的是（ ）
A.p∧qB.p∧¬qC.-p∧qD.¬p∧¬q

6. 已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d1，y>1，且lgx,14，lgy成等比数列，则xy有（ ）
A.最小值10B.最小值10C.最大值10D.最大值10

11. “φ=−π4”是“函数f(x)=cs(3x-φ)的图象关于直线x=π4对称”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12. 若x=2是函数fx=x2+2a-2x-4alnx的极大值点，则实数a的取值范围是（ ）
A.-∞,-2B.-2,+∞C.2,+∞D.-2,2
二、填空题)

13. 已知sinα=-5csα，则tan2α=_________.

14. 若直线y=x+b是曲线y=xlnx的一条切线，则实数b=________．

15. 已知fx是定义在R上的奇函数，且周期为4，当x∈(0,2]时， fx=x+m，若f7=1，则m=_______.

16. 已知函数fx=2x2,x≤0ex,x>0，若方程fx2=a恰有两个不同的实数根m，n，则m+n的最大值是________.
三、解答题)

17. 在等差数列an，已知2a6-a3=10且S5=20.
(1)求an的通项公式：

(2)设bn=2an⋅an+1 ，求数列bn的前n项和Tn.

18. 已知函数fx=3sin xcs x-cs2 x+12．
(1)求fπ4的值；

(2)求f(x)的单调递增区间；

(3)当x∈π4,5π12时，求f(x)的值域．

19. 如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60∘，PC=2，AP+AC=4.

(1)求边AC的长；

(2)若△APB的面积是 23 ，求sin∠BAP的值.

20. 已知函数f(x)=x3+3x2-9x+1．
（1）求f(x)的极大值；

（2）若f(x)在[k, 2]上的最大值为28，求k的取值范围．

21. 已知函数f(x)＝aex-x(a∈R)，其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…
(1)判断函数f(x)的单调性，并说明理由

(2)若x∈[1, 2]，不等式f(x)≥e-x 恒成立，求a的取值范围．

22. 已知曲线C的参数方程为x=3+csαy=4+sinα（α为参数）．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=π4.
(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)射线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．

23. 设函数fx=|x-3|+|x+1|
(1)求不等式fx≥6的解集；

(2)对任意的实数x∈R，不等式m2-m-2≤fx恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
四川省绵阳市绵阳一中2022-2023学年高三第一次月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】由题意知， A=x∈N|-1≤x≤72=0,1,2,3所以A∩B=0,1,2
故选：C
2.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
先求出向量a→+b→，由(a→+b→)⊥c→得(a→+b→)⋅c→=0；代入坐标求出k的值．
【解答】
解：∵ 向量a→=(2, 3)，b→=(1, 4)，c→=(k, 3)，
∴ a→+b→=(2+1, 3+4)=(3, 7)；
又∵ (a→+b→)⊥c→，
∴ (a→+b→)⋅c→=0；
即3k+7×3=0，
解得k=-7；
故选：A．
3.
【答案】
D
【考点】
二倍角的正切公式
【解析】
根据题意，利用同角三角函数的基本关系算出sinα，可得tanα，再由二倍角的正切公式加以计算，可得tan2α的值．
【解答】
解：∵ α是第二象限角，P(x, 4)为其终边上的一点，∴ xb>0，1ab>0，∴ 1ab>0，可得13a1，则2x>1；故命题p为真命题；
命题q:∀x>0,lgx>0，命题q为假命题：
故： p∧q为假命题， p∧¬q为真命题， ¬p∧q为假命题， ¬p∧¬q为假命题；
故选：B．
6.
【答案】
A
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵S7=7a1+a72=72×2a4=7a4=7，
∴a4=1.
又a2⋅a6=a4-2d⋅a4+2d=a42-4d2=-15，d0
若a≥0时，当x>2时， f'x>0；当00可得00可得00的图象，如图所示，
由fx2=a可得fx=a，所以a>1，即a>1
不妨设m1，则m=-t2,n=lnt
所以m+n=lnt-t2，令gt=lnt-t2，则g't=4-2t4t
所以当10，得x>1或x0，得x>1或x0，得x>1或x0，此时f(x)为的单调增函数．
综上所述，当a≤0时，f(x)＝aex-x为R上的减函数；
当a>0时，若x∈(-∞, -lna)，f(x)为的单调减函数；
若x∈(-lna, +∞)，f(x)为的单调增函数．
（2）由题意，x∈[1, 2]，不等式f(x)≥e-x恒成立，等价于aex-x≥e-x恒成立，
即x∈[1, 2]，a≥1+xexe2x恒成立．
令g(x)=1+xexe2x，则问题等价于a不小于函数g(x)在[1, 2]上的最大值．
由g(x)=1+xexe2x=1e2x+xex，函数y=1e2x在[1, 2]上单调递减，
令h(x)=xex，x∈[1, 2]，h'(x)=ex-xexe2x=1-xex≤0．
∴ h(x)=xex在x∈[1, 2]上也是减函数，
∴ g(x)在x∈[1, 2]上也是减函数，
∴ g(x)在[1, 2]上的最大值为g(1)=1e2+1e．
故x∈[1, 2]，不等式f(x)≥e-x 恒成立的实数a的取值范围是[1e2+1e, +∞)．
【考点】
函数单调性的判断与证明
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由f(x)＝aex-x，得f'(x)＝aex-1，
当a≤0时，f'(x)0时，令aex-1＝0，得x＝lna，
若x∈(-∞, -lna)，则f'(x)0，可得ρ1,ρ2是方程ρ2-72ρ+24=0的两根，由韦达定理知ρ1+ρ2=72,ρ1ρ2=24
∴ |AB|=|ρ1-ρ2|=ρ1+ρ22-4ρ1ρ2=2
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）将方程x=3+csαy=4+sinα，消去参数α得x-32+y-42=1
∵ x=ρcsθ, y=ρsinθ
∴ 曲线C的极坐标方程为ρ2-6csα+8sinαρ+24=0
（2）设A，B两点的极坐标方程分别为ρ1,π4,ρ2,π4
将θ=π4代入ρ2-6csα+8sinαρ+24=0，得ρ2-72ρ+24=0
其中Δ>0，可得ρ1,ρ2是方程ρ2-72ρ+24=0的两根，由韦达定理知ρ1+ρ2=72,ρ1ρ2=24
∴ |AB|=|ρ1-ρ2|=ρ1+ρ22-4ρ1ρ2=2
23.
【答案】
（1）x≥3时， fx=x-3+x+1≥6，x≥4，
-1≤x