初中3.3 垂径定理习题

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2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.3垂径定理》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　）

A．5 B．2.5 C．3 D．2
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
3．如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（　　）

A．4+ B．9 C．4 D．6
4．如图，在⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（　　）

A． B．1 C． D．2
5．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　）

A．5 B．2 C．4 D．
6．如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？（　　）

A．3 B．4 C． D．
7．如图，在⊙O中，直径AB＝8，弦DE⊥AB于点C，若AD＝DE，则BC的长为（　　）

A． B． C．1 D．2
8．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（　　）

A．8 B．10 C．4 D．4


9．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8，OF＝，则OE的长为（　　）

A．3 B．4 C．2 D．5
二．填空题
10．如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝　 　．

11．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 　 　m．

12．⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为 　 　．
13．如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 　 　．

14．已知⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则弦AB与CD之间的距离为 　 　cm．
15．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝5，EF＝4，那么AD＝　 　．

16．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，若OB＝10，AB＝12，则AC的长为 　 　．

17．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，若CD＝10，AB＝18，小圆半径为13，则大圆半径OA＝　 　．

18．AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的直径为10cm，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB，CD间的距离为 　 　．
19．AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，OE＝cm，则OF＝　 　cm．
20．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是　 　．

三．解答题
21．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．

22．石拱桥是我国古代入民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．

23．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）求证：四边形ADOE是正方形；
（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．

24．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC．
（1）求∠B的度数；
（2）若CE＝4，求圆O的半径．

25．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝24，CD＝8，求⊙O的半径及EC的长．

26．如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．

27．如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．


参考答案
一．选择题
1．解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×5＝2.5，
即CD的最大值为2.5，
故选：B．

2．解：连接OC，

设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
R2＝42+（8﹣R）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半径长是5，
故选：A．
3．解：连接OC，OF，

设OB＝x，
∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上，
∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°，
∵BG＝4，四边形BEFG是正方形，
∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°，
在Rt△BCO中，OC＝，
在Rt△FEO中，OF＝，
∵OF＝OC，
∴5x2＝x2+8x+32，
解得x＝4或x＝﹣2（舍去）
当x＝4时，OC＝4，
则半圆O的半径是4．
故选：C．
4．解：连接OD，

∵CD⊥OC交⊙O于点D，
∴△OCD是直角三角形，
根据勾股定理得CD＝，
∵半径OD是定值，
∴当OC⊥AB时，线段OC最小，此时D与B重合，CD＝，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝，
∴CD＝＝BC＝．
故选：A．
5．解：过点O作OF⊥CD于F，连接CO，
∵AE＝5，BE＝1，
∴AB＝6，
∴⊙O的半径为3，
∴OE＝3﹣1＝2．
∵∠AEC＝30°，
∴OF＝1，
∴CF＝2，
∴CD＝2CF＝4，
故选：C．

6．解：作OD⊥AB于点D，如图所示，
由题意可知：AC＝6，BC＝2，OD＝3，
∴AB＝8，
∴AD＝BD＝4，
∴CD＝2，
∴OC＝＝＝，
故选：D．

7．解：∵DE⊥AB，AB过圆心O，
∴DC＝CE＝DE，∠ACD＝∠BCD＝90°，
∵AD＝DE，
∴DC＝AD，
∴∠DAC＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝AB＝＝4，
∵∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠CDB＝30°，
∴BC＝BD＝，
故选：D．
8．解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，

∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，∠AEC＝90°，
由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，
即R2＝（R﹣2）2+42，
解得：R＝5，
即OA＝OC＝5，OE＝5﹣2＝3，
∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，
∴AC＝＝＝4，
故选：C．
9．解：连接OB、AB，
∵BD⊥AO，BD＝8，
∴BE＝ED＝BD＝4，
∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，
∵CO＝OA，OF＝，
∴AB＝2OF＝2，
由勾股定理得：AE＝＝2，
在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，
即OA2＝（OA﹣2）2+42，
解得：OA＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3．
故选：A．

二．填空题
10．解：设OA＝OC＝r，
∵OC⊥AB，OC是半径，
∴AE＝EB＝4，
在Rt△AEO中，OA2＝AE2+OE2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5．
故答案为：5．
11．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，
∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，
∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，
在Rt△AOC中，∵OA＝rcm，OC＝（6﹣r）m，
∴22+（6﹣r）2＝r2，
解得r＝，
即⊙O的半径长为m．
故答案为：．

12．解：连接OA，

∵OM：OC＝3：5，
设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x，
∵CD＝10，
∴OM＝3，OA＝OC＝5，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM＝AB，
在Rt△OAM中，OA＝5，
AM＝，
当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，
在Rt△ACM中，AC＝；
当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
在Rt△ACM中，AC＝．
综上所述，AC的长为4或2．
故答案为：4或2．
13．解：∵OA＝OC＝7，且D为OC的中点，
∴OD＝CD，
∵OC⊥AB，
∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，
在△AOD和△BCD中，

∴△AOD≌△BCD（SAS），
∴BC＝OA＝7．
故答案为：7．
14．解：过点O作OE⊥AB于E，直线OE交CD于F，连接OA、OC，
如图：

∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AB＝BE＝AB＝12，CF＝DF＝CD＝5，
在Rt△OAE中，OE＝＝5，
在Rt△OCF中，OF＝＝12，
当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，EF＝OF﹣OE＝12﹣5＝7（cm），
当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，EF＝OF+OE＝12+5＝17（cm），
综上所述，弦AB和CD之间的距离为7cm或17cm．
15．解：过O作OM⊥EF于M，连接OE，则∠OMD＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴四边形AOMD是矩形，
∴OM＝AD，
∵OM⊥EF，OM过圆心O，EF＝4，
∴EM＝FM＝2，
∵OG＝OB，BG＝5，
∴OB＝OG＝2.5＝OE，
在Rt△OME中，由勾股定理得：OM＝＝＝1.5，
∴AD＝OM＝1.5，
故答案为：1.5．
16．解：设AB和CD交于E，

∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB＝12，
∴AE＝BE＝6，∠OEB＝∠CEA＝90°，
由勾股定理得：OE＝＝＝8，
∴CE＝OC+OE＝10+8＝18，
由勾股定理得：AC＝＝＝6，
故答案为：6．
17．解：过O点作OH⊥AB于H，连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝5，AH＝BH＝AB＝9，
在Rt△OCH中，OH＝＝＝12，
在Rt△OAH中，OA＝＝＝15．
故答案为：15．

18．解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝4cm，CF＝DF＝CD＝3cm，
在Rt△OAE中，OE＝＝＝3cm，
在Rt△OCF中，OF＝＝＝4cm，
当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7cm；
当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm；
综上所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm．
故答案为1cm或7cm．

19．解：当A，O在BD的两侧时，连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC，
∴BE＝BD＝6cm，
在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，
解得，OB＝，
则EC＝AC﹣AE＝9，
BC＝＝＝3，
∵OF⊥BC，
∴CF＝BC＝，
∴OF＝＝＝（cm），
当A，O在BD的同侧时，同法可得OF＝
故答案为或．

20．解：连接OC，OM，

∵M为CD的中点，OM过圆心O，
∴OM⊥CD，
即∠OMC＝90°，
∵CP⊥AB，
∴∠CPO＝90°，
即∠OMC+∠CPO＝180°，
∴O、P、M、C四点共圆（设圆心为E），
要使PM值最大，PM为⊙E的直径，
∴∠PCM＝90°，
∴四边形CPOM是矩形，
∴OC＝PM，
∵直径AB＝8，
∴半径OC＝4，
即PM＝4，
∴l的最大值是4，
故答案为：4．
三．解答题
21．（1）证明：如图：连接BD，

∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，
∴∠CFG＝∠GEB，
∵∠CGF＝∠BGE，
∴∠C＝∠GBE，
∵∠C＝∠DBE，
∴∠GBE＝∠DBE，
∵AB⊥CD于E，
∴∠GEB＝∠DEB，
在△GBE和△DBE中，
，
∴△BGE≌△BDE（ASA），
∴ED＝EG．
（2）解：如图：

连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，
由（1）可知ED＝EG，
∴OE＝，
∵AB⊥CD于E，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，
即（）2+42＝r2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
22．解：（1）∵OC⊥AB，
∴AD＝BD；
（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，
∴BD＝AB＝13，
OD＝OC﹣CD＝R﹣5，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣5）2+132＝R2，
解得R＝19.4≈19，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m．
23．（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD＝AB，AE＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE是正方形；
（2）解：连接OA，

∵AC＝2cm，
∴AE＝1cm，
在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），
答：⊙O的半径是cm．
24．解：（1）如图，
∵AO⊥BC，AO过O，
∴CE＝BE，
∴AB＝AC，
同理得：AC＝BC，
∴AB＝AC＝BC
∴△ABC是等边三角形
∴∠B＝60°；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
∵CE＝4，
在Rt△CEO中，OE＝4，
∴OC＝2OE＝8，
即圆O的半径为8．
25．解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，
∴AC＝BC＝AB＝12，
设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣8，
在Rt△AOC中，122+（r﹣8）2＝r2，
解得r＝13，
连接BE，如图，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OA＝OE，AC＝BC，
∴BE＝2OC＝10，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝2，
所以⊙O的半径为13，EC的长为2．

26．解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝60米，
∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，
∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝16（米），
∴A′B′＝32米＞30米，
∴不需要采取紧急措施．

27．解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，
则BC＝AB＝1.6（米），
设⊙O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，
解得R＝2，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）过O作OH⊥FE于H，
则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，
在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），
∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），
即支撑杆EF的高度为0.4米．