第22章+二次函数（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（内蒙古）

这是一份第22章+二次函数（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（内蒙古），共64页。试卷主要包含了两点，与y轴交于点C等内容，欢迎下载使用。
第22章 二次函数（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（内蒙古）
一．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
1．（2021•呼和浩特）已知抛物线y＝ax2+kx+h（a＞0）．
（1）通过配方可以将其化成顶点式为 　 　，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴 　 　（填上方或下方），即4ah﹣k2　 　0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设x1＜x2且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）
（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0时，（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．
二．二次函数的应用（共5小题）
2．（2022•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
3．（2021•鄂尔多斯）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？

4．（2020•呼伦贝尔）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．
（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；
（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？
（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
5．（2020•呼和浩特）已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1＜t≤1），且每小时可获得利润60（﹣3t++1）元．
（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现t＝1时，y＝180，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；
（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；
（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
6．（2020•鄂尔多斯）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：
时间（天）
x
销量（斤）
120﹣x
储藏和损耗费用（元）
3x2﹣64x+400
已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？
三．二次函数综合题（共15小题）
7．（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

8．（2022•通辽）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线BC方程为y＝x﹣3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）点Q是抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

9．（2022•呼和浩特）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（4，0）和点C（0，2），与x轴的另一个交点为A，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC、x轴于点M、N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标．


10．（2022•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标是（2，0），顶点C的坐标是（0，4），M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2．当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；
（3）如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH﹣OG＝7．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2022•赤峰）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．

【建立模型】
如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．

【问题解决】
（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 　 　（可省略单位），水池2面积的最大值是 　 　m2；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 　 　，此时的x（m）值是 　 　；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 　 　；
（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；
（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．
12．（2021•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，定直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 　 　；
（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

13．（2021•兴安盟）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于点A（，）和点B（4，m）．抛物线与x轴的交点分别为H、K（点H在点K的左侧）．点F在线段AB上运动（不与点A、B重合），过点F作直线FC⊥x轴于点P，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AC，是否存在点F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，当△CEF的周长最大时，过点F作任意直线l，把△CEF沿直线l翻折180°，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当△CEF的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值．

14．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

15．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）是抛物线上一动点．
（1）如图1，当m＞0，n＞0，且n＝3m时，
①求点M的坐标；
②若点B（，y）在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD∥MO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x，）在对称轴上，当m＞2，n＞0，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为（0，），连接GF．若EF+NF＝2MF，求证：射线FE平分∠AFG．

16．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

17．（2020•赤峰）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2经过B，C两点．
（1）直接写出二次函数的解析式　 　；
（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；
（3）过（2）中的点Q作QE∥y轴，交x轴于点E．若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

18．（2020•呼伦贝尔）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；
（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

19．（2020•鄂尔多斯）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．

20．（2020•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．


第22章 二次函数（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（内蒙古）
参考答案与试题解析
一．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
1．（2021•呼和浩特）已知抛物线y＝ax2+kx+h（a＞0）．
（1）通过配方可以将其化成顶点式为 　　，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴 　下方　（填上方或下方），即4ah﹣k2　＜　0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设x1＜x2且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）
（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0时，（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．
【解答】解：（1）y＝ax2+kx+h＝a（x2+x）+h＝a[xx+（）2﹣（）2]+h＝a（x+）2﹣+h＝a（x+）2+，
∴顶点式为：，当顶点在x轴下方时，即4ah﹣k2＜0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；
故答案为：，下方，＜；
（2）若设x1＜x2且不等于顶点横坐标则A，B两点位置可能有以下三种情况：
①当A，B都在对称轴左侧时，由于在对称轴左侧，函数值随x的增大而减小，所以点A在x轴上方，点B在x轴下方，顶点M在点B下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图所示：

②当A，B都在对称轴右侧时，由于在对称轴右侧，函数值随x的增大而增大，所以点B在x轴上方，点A在x轴下方，顶点M在点A下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图所示：

③当A，B在对称轴两侧时，由于A，B分布在x轴两侧，所以不管A，B哪个点在x轴下方，都可以根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上，同①或②，可以说明抛物线顶点必在x轴下方．如图所示：

（3）证明：令y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c），a＞0，
当x1＝0时，y1＝a+b+c；
当x2＝﹣1时，y2＝2（a+c）．
而（a+c）（a+b+c）＜0，
∴y1⋅y2＜0，
∴y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）上存在两点（﹣1，2a+2c），（0，a+b+c）分别位于x轴两侧，
∴由（1）（2）可知，y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）顶点在x轴下方，
即，
又a＞0，
∴4a（a+b+c）﹣（b﹣c）2＜0，
即：（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．
二．二次函数的应用（共5小题）
2．（2022•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，
根据题意可得，+50＝，
解得x＝40．
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴1.1x＝44．
∴第二批每个挂件的进价为40元．
（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，
根据题意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10（y﹣52）2+1440，
∵﹣10＞0，
∴当x≥52时，y随x的增大而减小，
∵40+10（60﹣y）≤90，
∴y≥55，
∴当y＝55时，w取最大，此时w＝﹣10（55﹣52）2+1440＝1350．
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
3．（2021•鄂尔多斯）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？

【解答】解：（1）由题意，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
把（280，40，），（290，39）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣x+68（200≤x≤320）；
（2）设宾馆的利润为w元，
则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+68）＝﹣x2+70x﹣1360＝﹣（x﹣350）2+10890，
∵﹣＜0，
∴当x＜350时，w随x的增大而增大，
∵200≤x≤320，
∴当x＝320时，w取得最大值，最大值为10800元，
答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是10800元．
4．（2020•呼伦贝尔）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．
（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；
（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？
（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x，
w＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000；
（2）由题意得：﹣10x2+1400x﹣40000＝8000，
解得：x1＝60，x2＝80，
当x＝60时，成本＝40×[500﹣10（60﹣50）]＝16000＞10000不符合要求，舍去，
当x＝80时，成本＝40×[500﹣10（80﹣50）]＝8000＜10000符合要求，
∴销售价应定为每件80元；
（3）∵w＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，
又∵﹣10＜0．
当x＝70时，w取最大值9000，
故销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．
5．（2020•呼和浩特）已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1＜t≤1），且每小时可获得利润60（﹣3t++1）元．
（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现t＝1时，y＝180，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；
（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；
（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【解答】解：（1）他是依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；
令y＝60（﹣3t++1），当t＝1时，y＝180，
∵当0.1＜t≤1时，随t的增大而减小，﹣3t也随t的增大而减小，
∴﹣3t+的值随t的增大而减小，
∴y＝60（﹣3t++1）随t的增大而减小，
∴当t＝1时，y取最小，
∴他的结论正确．
（2）由题意得：60（﹣3t++1）×2＝1800，
整理得：﹣3t2﹣14t+5＝0，
解得：t1＝，t2＝﹣5，
经检验，t＝，t＝﹣5是原分式方程的解，又x＝﹣5不合题意，舍去．
即以小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷＝24千克．
∴1天（按8小时计算）可生产该产品24千克；
（3）设利润为L，生产680千克该产品获得的利润为：L＝680t×60（﹣3t++1），
整理得：L＝40800（﹣3t2+t+5），
∴当t＝时，L最大，且最大值为207400元．
∴该厂应该选取小时/千克的速度生产，此时最大利润为207400元．
6．（2020•鄂尔多斯）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：
时间（天）
x
销量（斤）
120﹣x
储藏和损耗费用（元）
3x2﹣64x+400
已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设该水果每次降价的百分率为x，
10（1﹣x）2＝8.1，
解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），
答：该水果每次降价的百分率是10%；
（2）由题意可得，
y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝﹣3x2+60x+80＝﹣3（x﹣10）2+380，
∵1≤x＜10，且x为整数，
∴当x＝9时，y取得最大值，此时y＝377，
由上可得，y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式是y＝﹣3x2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元．
三．二次函数综合题（共15小题）
7．（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点A（﹣，0），B（3，）代入到y＝ax2+bx+2中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；

（2）设点P（m，﹣m2+m+2），
∵y＝﹣x2+x+2，
∴C（0，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+2，
∴D（m，m+2），
∴PD＝|﹣m2+m+2﹣m﹣2|＝|m2﹣3m|，
∵PD⊥x轴，OC⊥x轴，
∴PD∥CO，
∴当PD＝CO时，以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴|m2﹣3m|＝2，解得m＝1或2或或，
∴点P的横坐标为1或2或或；

（3）①当Q在BC下方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，

∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，
∵∠QCB＝45°，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴CH＝HB，
∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，
∴∠CHM＝∠HBN，
∴△CHM≌△HBN（AAS），
∴CM＝HN，MH＝BN，
∵H（m，n），
∵C（0，2），B（3，），
∴，解得，
∴H（，），
设直线CH的解析式为y＝px+q，
∴，解得，
∴直线CH的解析式为y＝﹣x+2，
联立直线CF与抛物线解析式得，
解得或，
∴Q（，）；
②当Q在BC上方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，

同理得Q（，）．
综上，存在，点Q的坐标为（，）或（，）．
8．（2022•通辽）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线BC方程为y＝x﹣3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）点Q是抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

【解答】解：（1）在y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则x＝3，
∴B（3，0），
将B、C两点代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）令y＝0，则﹣x2+4x﹣3＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴A（1，0），
∴AB＝2，
∴S△ABC＝×2×3＝3，
∵S△PBC＝S△ABC，
∴S△PBC＝，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
设P（t，﹣t2+4t﹣3），则Q（t，t﹣3），
∴PQ＝|﹣t2+3t|，
∴＝×3×|﹣t2+3t|，
解得t＝或t＝，
∴P点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）；
（3）过点B作BE⊥BC交CQ于点E，过E点作EF⊥x轴交于F，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝45°，
∵∠ACQ＝45°，
∴∠BCQ＝∠OCA，
∵OA＝1，
∴tan∠OCA＝，
∴tan∠BCE＝＝，
∵BC＝3，
∴BE＝，
∵∠OBC＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴EF＝BF＝1，
∴E（4，﹣1），
设直线CE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
联立方程组，
解得（舍）或，
∴Q（，﹣）．


9．（2022•呼和浩特）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（4，0）和点C（0，2），与x轴的另一个交点为A，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC、x轴于点M、N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标．


【解答】解：（1）将点B（4，0）和点C（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
在y＝﹣x2+x+2中，令y＝0得﹣x2+x+2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0）；
（2）存在y轴上一点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形，理由如下：
如图：

∵点D是线段AC的中点，A（﹣1，0），C（0，2），
∴D（﹣，1），
设E（0，t），
又B（4，0），
∵∠BED＝90°，
∴BE2+DE2＝BD2，
即[（4﹣0）2+（0﹣t）2]+[（﹣﹣0）2+（1﹣t）2]＝（4+）2+（0﹣1）2，
化简得：t2﹣t﹣2＝0，
解得：t1＝﹣1，t2＝2，
∴E的坐标为（0，﹣1）或（0，2）；
（3）∵B（4，0）、C（0，2），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+2（k≠0），
把点B（4，0）代入解析式得，4k+2＝0，
解得：k＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设点P（m，﹣m2+m+2），则M（m，﹣m+2），
①当∠PCM＝2∠OBC时，
过点C作CF⊥PM于点F，如图，

∵CF⊥PM，PM∥y轴，
∴CF∥OB，
∴∠FCM＝∠OBC，F（m，2），
又∵∠PCM＝2∠OBC，
∴∠PCF＝∠FCM＝∠OBC，
∴F是线段PM的中点，
∴＝2，
整理得：m2﹣2m＝0，
解得：m＝2或m＝0，
∵点P是第一象限内抛物线上的动点，
∴m＝2；
②∠CMP＝2∠OBC时，
∵∠CMP＝∠BMN，
∴∠BMN＝2∠OBC，即∠BMN＝2∠NBM，
∵PN⊥x轴，
∴∠BMN+∠NBM＝90°，
即3∠NBM＝90°，
∴∠NBM＝30°，
∴OC＝BC，
∵BC＝＝＝2≠4，
∴此种情况不存在；
③当∠CPM＝2∠OBC时，
∵∠CMP＝∠NMB＝90°﹣∠OBC，
∴∠PCM＝180°﹣∠CPM﹣∠CMP＝180°﹣2∠OBC﹣（90°﹣∠OBC）＝90°﹣∠OBC，
∴∠PCM＝∠CMP，
∴PC＝PM，
∴（m﹣0）2+（﹣+m+2﹣2）2＝[（﹣+m+2）﹣（﹣m+2）]2，
整理得：m2+m4﹣m3+m2＝m4﹣2m3+4m2，
解得：m＝；
综上所述，满足条件的点P的横坐标为2或．
10．（2022•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标是（2，0），顶点C的坐标是（0，4），M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2．当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；
（3）如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH﹣OG＝7．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于（2，0），顶点C的坐标是（0，4），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；
（2）证明：过点M作MD⊥y轴，垂足为D，

当△AOG与△MOG都以OG为底时，
∵S1＝2S2，
∴OA＝2MD，
当y＝0时，则﹣x2+4＝0，
解得x＝±2，
∵B（2，0），
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，MD＝1，
设M点的坐标为（m，﹣m2+4），
∵点M在第一象限，
∴m＝1，
∴﹣m2+4＝3，
即M（1，3），
设直线AM的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AM的解析式为y＝x+2，
∵CN∥AM，
∴设直线CN的解析式为y＝x+t，
∵C（0，4），
∴t＝4，
即直线CN的解析式为y＝x+4，将其代入y＝﹣x2+4中，
得x+4＝﹣x2+4，
解得x＝0或﹣1，
∵N点在第二象限，
∴N（﹣1，3），
∵M（1，3），
∴点N与点M关于y轴对称；
（3）过点M作ME⊥x轴，垂足为E，令M（m，﹣m2+4），

∴OE＝m，ME＝﹣m2+4，
∵B（2，0），
∴OB＝2，BE＝2﹣m，
在Rt△BEM和Rt△BOH中，
∵tan∠MBE＝tan∠HBO，
∴，
∴OH＝＝＝2（2+m）＝2m+4，
∵OA＝2，
∴AE＝m+2，
在Rt△AOG和Rt△AEM中，
∵tan∠GAO＝tan∠MAE，
∴，
∴OG＝＝＝2（2﹣m）＝4﹣2m，
∵2OH﹣OG＝7，
∴2（2m+4）﹣（4﹣2m）＝7，
解得m＝，
当m＝时，﹣m2+4＝，
∴M（，），
∴存在点M（，），使得2OH﹣OG＝7．
11．（2022•赤峰）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．

【建立模型】
如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．

【问题解决】
（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 　3≤x＜6　（可省略单位），水池2面积的最大值是 　9　m2；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 　C，E　，此时的x（m）值是 　1或4　；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 　0＜x＜1或4＜x＜6　；
（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；
（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．
【解答】解：（1）∵y2＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，
又∵﹣1＜0，
∴抛物线的开口方向向下，当x≥3时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，
∵0＜x＜6，
∴当3≤x＜6时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，水池2面积的最大值是9m2．
故答案为：3≤x＜6；9；
（2）由图象可知：两函数图象相交于点C，E，此时两函数的函数值相等，即：
x+4＝﹣x2+6x，
解得：x＝1或4，
∴表示两个水池面积相等的点是：C，E，此时的x（m）值是：1或4．
故答案为：C，E；1或4；
（3）由图象知：图象中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
即当0＜x＜1或4＜x＜6时，水池1的面积大于水池2的面积，
故答案为：0＜x＜1或4＜x＜6；
（4）在抛物线上的CE段上任取一点F，过点F作FG∥y轴交线段CE于点G，

则线段FG表示两个水池面积差，
设F（m，﹣m2+6m），则G（m，m+4），
∴FG＝（﹣m2+6m）﹣（m+4）＝﹣m2+5m﹣4＝﹣+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，FG有最大值为．
∴在1＜x＜4范围内，两个水池面积差的最大值为，此时x的值为；
（5）∵水池3与水池2的面积相等，
∴y3＝y2，
即：x+b＝﹣x2+6x，
∴x2﹣5x+b＝0．
∵若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×b＝0，
解得：b＝．
∴若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，b的值为米．
12．（2021•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，定直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 　y＝﹣x2﹣2x+3　；
（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于（﹣3，0）、B（1，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如图1中，连接OE．设E（m，﹣m2﹣2m+3）．

∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，AC＝3，
∵AC∥直线m，
∴当直线m的位置确定时，△ACH的面积是定值，
∵S四边形AECH＝S△AEC+S△ACH，
∴当△AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大，
∵S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC＝×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）﹣×3×3＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝﹣时，△AEC的面积最大，
∴E（﹣，）；

（3）存在．如图2中，因为点Q在抛物线上 EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为±，

对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当y＝时，﹣x2﹣2x+3＝，解得x＝﹣（舍弃）或﹣，
∴Q1（﹣，）．
当y＝﹣时，﹣x2﹣2x+3＝﹣，解得x＝，
∴Q2（，﹣），Q3（，﹣）．
综上所述，满足条件的点Q坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，﹣）．
13．（2021•兴安盟）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于点A（，）和点B（4，m）．抛物线与x轴的交点分别为H、K（点H在点K的左侧）．点F在线段AB上运动（不与点A、B重合），过点F作直线FC⊥x轴于点P，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AC，是否存在点F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，当△CEF的周长最大时，过点F作任意直线l，把△CEF沿直线l翻折180°，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当△CEF的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值．

【解答】解：（1）∵直线y＝x+2过点B（4，m），
∴m＝4+2，
解得m＝6，
∴B（4，6），
把点A和B代入抛物线的解析式，得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在点F，使△FAC为直角三角形，
设F（n，n+2），直线AB与x轴交于M，则M（﹣2，0），直线AB与y轴交于点N，则N（0，2），

∵FC∥y轴，
∴C（n，2n2﹣8n+6），
∵直线y＝x+2与x轴的交点为M（﹣2，0），与y轴交点为N（0，2），
∴OM＝ON＝2，
∴∠ONM＝45°，
∵FC∥y轴，
∴∠AFC＝∠ONM＝45°，
若△FAC为直角三角形，则分两种情况讨论：
（i）若点A为直角顶点，即∠FAC＝90°，
过点A作AD⊥FC于点D，
在Rt△FAC中，
∵∠AFC＝45°，
∴AF＝AC，
∴DF＝DC，
∴AD＝FC，
∵n＝，
化简得：2n2﹣7n+3＝0，
解得：n1＝3，（与A重合舍去），
∴F（3，5），
（ii）若点C为直角顶点，即∠FCA＝90°，则AC∥x轴，

在Rt△FAC中，
∵∠AFC＝45°，
∴AC＝CF，
∴n＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6，
化简得：4n2﹣16n+7＝0，
解得：，（舍去），
∴F（，），
综上所述：存在点 F（3，5）或（，），使△FAC为直角三角形；
（3）设F（c，c+2），
∵FC∥y轴，
∴C（c，2c2﹣8c+6），

在Rt△FEC中，
∵∠AFC＝45
∴EF＝EC＝CF•sin∠AFC＝，
∴当CF最大时，△FEC的周长最大，
∵CF＝（c+2）﹣（2c2﹣8c+6）＝﹣2c2+9c﹣4＝，
又∵﹣2＜0，
∴当时，CF最大即△FEC的周长最大，此时F点坐标为，
折叠过程中，当K，F，Q共线，且K和Q在F两侧时，KQ的最大，K和Q在F同侧时，KQ的最小，
∵CF＝，
由（1）知点K的坐标为（3，0），
∴KF＝，
∴KQ的最大值为CF+KF＝，KQ的最小值为CF﹣KF＝．
14．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴A（﹣4，0），B（2，0），
令x＝0，得y＝﹣8，
∴C（0，﹣8）；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣4，0），C（0，﹣8），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，
∵直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，
∴E（m，m2+2m﹣8），D（m，﹣2m﹣8），
∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m，
设DE交x轴于点F，则F（m，0），
∴OF＝﹣m，
∴AF＝m﹣（﹣4）＝m+4，DF＝2m+8，
∵OD⊥AC，EF⊥OA，
∴∠ODA＝∠OFD＝∠DFA＝∠AOC＝90°，
∴∠DOF+∠COD＝∠OCD+∠COD＝90°，
∴∠DOF＝∠OCD，
∴△ACO∽△DOF，
∴＝，
∴OC•DF＝OA•OF，
∴8（2m+8）＝4（﹣m），
解得：m＝﹣，
∴DE＝﹣m2﹣4m＝﹣（﹣）2﹣4×（﹣）＝；
（3）存在，
如图2，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，
抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∵以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，
∴分三种情况：CM对角线或CN为对角线或CP为对角线，
①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，
∴N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N（﹣1，﹣6），
CN＝＝，
∴CM＝PN＝，
∴M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣）；
②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，
设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），
∴（﹣1﹣0）2+（﹣6﹣a+8）2＝a2，
解得：a＝，
∴M3（0，﹣），
③当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），
∵N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，
∴b＝﹣2×1﹣8＝﹣10，
∴M4（0，﹣12），
综上所述，点M的坐标为：M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣），M3（0，﹣），M4（0，﹣12）．


15．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）是抛物线上一动点．
（1）如图1，当m＞0，n＞0，且n＝3m时，
①求点M的坐标；
②若点B（，y）在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD∥MO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x，）在对称轴上，当m＞2，n＞0，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为（0，），连接GF．若EF+NF＝2MF，求证：射线FE平分∠AFG．

【解答】解（1）①∵点M（m，n）在抛物线y＝﹣x2+4x上，
∴n＝﹣m2+4m（Ⅰ），
∵n＝3m（Ⅱ），
联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，（舍去）或，
∴M（1，3）；

②OD＝MC，理由：
如图1，∵点B（，y）在该抛物线y＝﹣x2+4x上，
∴y＝﹣（）2+4×＝，
∴B（，），
由①知，M（1，3），
∴直线BM的解析式为y＝﹣x+，
令y＝0，则﹣x+＝0，
∴x＝5，
延长MB交x轴于P，
∴P（5，0），
∴OP＝5，
∵M（1，3），
∴PM＝＝5＝OP，
∴∠POM＝∠PMO，
∵CD∥MO，
∴∠PDC＝∠POM，∠PCD＝∠PMO，
∴∠PDC＝∠PCD，
∴PD＝PC，
∴PO﹣PD＝PM﹣PC，
∴OD＝MC；

（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴E（2，），
令y＝0，则﹣x2+4x＝0，
∴x＝0或x＝4，
∴A（4，0），
∵AN⊥x轴，
∴点N的横坐标为4，
由图知，NF＝EF+EM+MN，MF＝EF+EM，
∵EF+NF＝2MF，
∴EF+EF+EM+MN＝2（EF+EM），
∴MN＝EM，
过点M作HM⊥x轴于H，
∴MH是梯形EKAN的中位线，
∴M的横坐标为3，
∵点M在抛物线上，
∴点M的纵坐标为﹣32+4×3＝3，
∴M（3，3），
∵点E（2，），
∴直线EF的解析式为y＝x+1，
令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣，
∴F（﹣，0），
∴OF＝，
令x＝0，则y＝1，
记直线EF与y轴的交点为L，
∴L（0，1），
∴OL＝1，
∵G（0，），
∴OG＝，
∴LG＝OG﹣OL＝，
根据勾股定理得，FG＝＝＝，
过点L作LQ⊥FG于Q，
∴S△FLG＝FG•LQ＝LG•OF，
∴LQ＝＝＝1＝OL，
∵OL⊥FA，LQ⊥FG，
∴FE平分∠AFG，
即射线FE平分∠AFG．


16．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．
如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．
∵AP＝BP，
∴△PBC周长的最小值是AC+BC，
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），
∴AC＝3，BC＝．
∴△PBC周长的最小值是：3+．
抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
设直线AC的解析式为y＝kx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴P（1，2）；
（3）存在．
设P（1，t），Q（m，n）
∵A（3，0），C（0，3），
则AC2＝32+32＝18，
AP2＝（1﹣3）2+t2＝t2+4，
PC2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
∵四边形ACPQ是菱形，
∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，
①当以AP为对角线时，则CP＝CA，如图2，
∴t2﹣6t+10＝18，
解得：t＝3±，
∴P1（1，3﹣），P2（1，3+），
∵四边形ACPQ是菱形，
∴AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合，
当P1（1，3﹣）时，
∴＝，＝，
解得：m＝4，n＝﹣，
∴Q1（4，﹣），
当P2（1，3+）时，
∴＝，＝，
解得：m＝4，n＝，
∴Q2（4，），
②以AC为对角线时，则PC＝AP，如图3，
∴t2﹣6t+10＝t2+4，
解得：t＝1，
∴P3（1，1），
∵四边形APCQ是菱形，
∴AC与PQ互相垂直平分，即AC与CQ中点重合，
∴＝，＝，
解得：m＝2，n＝2，
∴Q3（2，2），
③当以CP为对角线时，则AP＝AC，如图4，
∴t2+4＝18，
解得：t＝±，
∴P4（1，），P5（1，﹣），
∵四边形ACQP是菱形，
∴AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合，
∴＝，＝，
解得：m＝﹣2，n＝3，
∴Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣），
综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣）．




17．（2020•赤峰）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2经过B，C两点．
（1）直接写出二次函数的解析式　y＝x2﹣x+2　；
（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；
（3）过（2）中的点Q作QE∥y轴，交x轴于点E．若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2经过B，C两点．
∴点C（0，2），
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（4，0），点C（0，2），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+2，
故答案为：y＝x2﹣x+2；

（2）∵直线BC解析式为：y＝﹣x+2，
∴设平移后的解析式为：y＝﹣x+2+m，
∵平移后直线BC与抛物线有唯一公共点Q
∴x2﹣x+2＝﹣x+2+m，
∴△＝4﹣4××（﹣m）＝0，
∴m＝﹣2，
∴设平移后的解析式为：y＝﹣x，
联立方程组得：，
∴，
∴点Q（2，﹣1）；

（3）设点M的坐标为（m，m2﹣m+2），
∵以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似，
∴当△MEN∽△OBC时，
∴∠MEN＝∠OBC，
过点M作MH⊥x轴于H，
∴∠EHM＝90°＝∠BOC，
∴△EHM∽△BOC，
∴，
∴MH＝|m2﹣m+2|，EH＝|m﹣2|，
∵OB＝4，OC＝2．
∴＝2或，
∴m＝3±或m＝2±或m＝或m＝，
当m＝3+时，m2﹣m+2＝，
∴M（3+，），
当m＝3﹣时，m2﹣m+2＝，
∴M（3﹣，），
当m＝2+时，m2﹣m+2＝﹣，
∴M（2+，﹣），
当m＝2﹣时，m2﹣m+2＝，
∴M（2﹣，），
当m＝时，m2﹣m+2＝5+，
∴M（，5+），
当m＝时，m2﹣m+2＝﹣5，
∴M（，﹣5），
当m＝时，m2﹣m+2＝3﹣，
∴M（，3﹣），
当m＝时，m2﹣m+2＝3+，
∴M（，3+），
即满足条件的点M共有8个，其点的坐标为（3+，）或（3﹣，）或（2+，﹣）或（2﹣，）或（，5+）或（，﹣5）或（，3﹣）或（，3+）．

18．（2020•呼伦贝尔）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；
（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线A（﹣1，0），B（4，0），可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
令x＝0，则y＝2，
∴点C的坐标为（0，2）；
（2）连接OQ，
∵点Q的横坐标为m，
∴Q（m，），
∴S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC
＝﹣
＝﹣m2+4m，
令S＝2，
解得：m＝或，

（3）如图，过点Q作QH⊥BC于H，连接AC，
∵AC＝，BC＝，AB＝5，
满足AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，又∠QHC＝90°，∠APC＝∠QPH，
∴△APC∽△QPH，
∴，
∵S△BCQ＝BC•QH＝QH，
∴QH＝，
∴＝，
∴当m＝2时，存在最大值．

19．（2020•鄂尔多斯）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，
∴点B（﹣3，0），
∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
如图1，当点D在点C上方时，

∵∠DBC＝15°，
∴∠OBD＝30°，
∴tan∠DBO＝＝，
∴OD＝×3＝，
∴CD＝3﹣；
若点D在点C下方时，
∵∠DBC＝15°，
∴∠OBD＝60°，
∴tan∠DBO＝＝，
∴OD＝3，
∴DC＝3﹣3，
综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；
（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，

∵点A（1，0），点C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
∴AC＝＝＝，
∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，
∴△OCE≌△OCA（SAS），
∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，
∴∠ECA＝2∠ACO，
∵∠PAB＝2∠ACO，
∴∠PAB＝∠ECA，
∵S△AEC＝AE×OC＝AC×EF，
∴EF＝＝，
∴CF＝＝＝，
∴tan∠ECA＝＝，
如图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N，
∵∠PAB＝∠ECA，
∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，
∴ON＝，
∴点N（0，﹣），
又∵点A（1，0），
∴直线AP解析式为：y＝x﹣，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点P坐标为：（﹣，﹣），
当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点P坐标为：（﹣，），
综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）．
20．（2020•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）解：对于抛物线y＝x2﹣2x，令y＝0，得到x2﹣2x＝0，
解得x＝0或6，
∴A（6，0），
∵直线y＝﹣x+b经过点A，
∴0＝﹣3+b，
∴b＝3，
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣3）2﹣3，
∴M（3，﹣3）．

（2）证明：如图1中，设平移后的直线的解析式y＝﹣x+n．

∵平移后的直线经过M（3，﹣3），
∴﹣3＝﹣+n，
∴n＝﹣，
∴平移后的直线的解析式为y＝﹣x﹣，
过点D（2，0）作DH⊥MC于H，
则直线DH的解析式为y＝2x﹣4，
由，解得，
∴H（1，﹣2），
∵D（2，0），M（3，﹣3），
∴DH＝＝，HM＝＝，
∴DH＝HM．
∴∠DMC＝45°，
∵∠ADM＝∠DMC+∠ACM，
∴∠ADM﹣∠ACM＝45°．

（3）解：如图2中，过点G作GH⊥OA于H，过点E作EK⊥OA于K．

∵∠BEF＝2∠BAO，∠BEF＝∠BAO+∠EFA，
∴∠EFA＝∠BAO，
∵∠EFA＝∠GFH，tan∠BAO＝＝＝，
∴tan∠GFH＝tan∠EFK＝，
∵GH∥EK，
∴＝＝，设GH＝4k，EK＝3k，
则OH＝HG＝4k，FH＝8k，FK＝AK＝6k，
∴OF＝AF＝12k＝3，
∴k＝，
∴OF＝3，FK＝AK＝，EK＝，
∴OK＝，
∴E（，）．
21．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，
解得x＝6，
∴B（6，0），
令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，
∴D（0，﹣6），
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C（0，6），
把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），
则MN＝﹣m2+4m+12，
∴S△MDB＝＝﹣3m2+12m+36＝﹣3（m﹣2）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当m＝2时，△MDB的面积最大，
此时，P点的坐标为（2，0）；

（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），
当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；
当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；
当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，
即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，
解得，n＝4±2，
∴Q（0，4+2）或（0，4﹣2）．
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+2）或（0，4﹣2）．