高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.1 命题与量词教案设计

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1.2.1　命题与量词教学目标　1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解全称量词命题和存在量词命题的概念，能够用符号表示全称量词命题与存在量词命题.3.掌握判断全称量词命题与存在量词命题的真假的方法．知识梳理知识点一　全称量词与全称量词命题 定义符号表示全称量词在指定范围内，表示整体或全部的含义的短语，如“所有的”“对任意一个”∀全称命题含有全称量词的命题∀x∈M，p(x)特别提醒：(1)有些全称量词命题中的全称量词是省略的．(2)全称命题中的p(x)是对于指定的集合M内的任意x都具备的一个结论．知识点二　存在量词与存在量词命题 定义符号表示存在量词表示个别或一部分的含义的短语，如“存在一个”“至少有一个”∃存在量词命题含有存在量词的命题∃x0∈M，p(x0)特别提醒：(1)有些存在量词命题中的存在量词是省略的．(2)存在量词命题的含义是指定集合M中存在元素x具备结论p(x)．思考　下列语句是命题吗？如果是命题，是不是存在量词命题？(1)x能被2和5整除；(2)至少有一个x0∈Z，x0能被2和5整除．【答案】　(1)不是命题；(2)是命题．是存在量词命题，因为有存在量词“至少有一个”．题型探究一、全称命题与存在量词命题的辨析例1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次函数都存在零点；(4)过两条平行线有且只有一个平面．解　命题(1)完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称量词命题．命题(2)为存在量词命题．命题(3)完整的表述应为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称量词命题．命题(4)完整的表述应为“过任意两条平行线有且只有一个平面”，故为全称量词命题．注意　全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．跟踪训练1　下列命题中，是全称量词命题的是__________，是存在量词命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【答案】①②③　④二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2　(1)有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x0∈N，x≤x0；④∃x0∈N*，x0为29的约数．其中真命题的个数为(　　)A．1  B．2  C．3  D．4【答案】C【解析】对于①，这是全称量词命题，∵Δ＝9－32＝－23<0，∴∀x∈R,2x2－3x＋4>0是真命题；对于②，这是全称量词命题，当x＝－1时，2x＋1<0，故该命题为假命题；对于③，这是存在量词命题，当x0＝0时，x≤x0成立，该命题为真命题；对于④，这是存在量词命题，当x0＝1时，x0为29的约数，该命题为真命题，故选C.(2)已知命题p：∀x>0，x＋≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，＝，则下列判断正确的是(　　)A．p是假命题B．q是真命题C．p∧(q)是真命题D．(p)∧q是真命题【答案】C【解析】p为真命题，q为假命题，∴p∧(q)是真命题，故选C.反思感悟　(1)全称量词命题的真假判断要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．(2)存在量词命题的真假判断要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．跟踪训练2　下列命题中的假命题是(　　)A．∀x∈R,3－x＋1>1B．∀x∈[－1,2]，x2－2x≤3C．∃x0∈R，x＋≤1D．∃x0∈R，x＋x0＋2＝0【答案】D【解析】对D选项，∵Δ＝1－8＝－7<0，∴不存在x0∈R，使x＋x0＋2＝0成立．三、求含有量词的命题中参数的范围例3　对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求实数m的取值范围．解　令y＝sin x＋cos x，x∈R，则y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]，因为∀x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，所以只要m<－即可．所以所求m的取值范围是(－∞，－)．延伸探究　若本例条件变为：“存在实数x0，使不等式sin x0＋cos x0>m有解”，求实数m的取值范围．解　令y＝sin x＋cos x，x∈R，因为y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]．又因为∃x0∈R，sin x0＋cos x0>m有解，所以只要m<即可，所以所求m的取值范围是(－∞，)．反思感悟　求解含有量词的命题中参数的范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a>f(x)max(或a<f(x)min)．(2)对于存在量词命题“∃x0∈M，a>f(x0)(或a<f(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a>f(x)min(或a<f(x)max)．跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若至少存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．解　方法一　(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.(2)不等式m－f(x0)>0，可化为m>f(x0)，若至少存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m>4.所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．方法二　(1)要使不等式m＋f(x)>0对任意x∈R恒成立，即x2－2x＋5＋m>0对∀x∈R恒成立，所以Δ＝(－2)2－4(5＋m)<0，解得m>－4，所以当m>－4时，m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立．(2)若至少存在一个实数x0，使m－f(x0)>0成立，即x－2x0＋5－m<0成立．只需Δ＝(－2)2－4(5－m)>0即可，解得m>4.所以实数m的取值范围是(4，＋∞)．课堂小结1．知识清单：(1)全称量词与存在量词的含义．(2)用符号表示全称量词命题与存在量词命题．(3)全称量词命题与存在量词命题的真假判断．(4)求含有量词的命题中参数的范围．2．方法归纳：转化法、分类讨论．3．常见误区：求参数范围时的端点值取舍．随堂检测1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是(　　)A．有一个x0∈R，使得x>3B．对有些x0∈R，使得x>3C．任选一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x0∈R，使得x>3【答案】C2．下列命题中，是正确的全称命题的是(　　)A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∃x0，＝x0D．对数函数在定义域上是单调函数【答案】D3．下列命题中，既是真命题又是存在量词命题的是(　　)A．存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0B．存在实数x0，使sin x0＝C．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD．对任意α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β【答案】A4．下列命题中的假命题是(　　)A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈(0，＋∞)，lg x0<1D．∃x0∈R，tan x0＝2【答案】B【解析】当x＝1时，(x－1)2＝0，所以命题“∀x∈N*，(x－1)2>0”为假命题．易知A，C，D中的命题均为真命题．故选B.5．若命题3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，则实数m的取值范围为________．【答案】[0,12)【解析】“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；当m>0，且Δ＝m2－12m<0，即0<m<12时，3mx2＋mx＋1>0恒成立，所以0<m<12满足题意．综上所述，实数m的取值范围是[0,12)．