数学必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式第1课时导学案

这是一份数学必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式第1课时导学案，共14页。学案主要包含了φ对函数y＝sin图象的影响，A对函数y＝Asin图象的影响，ω对函数y＝sin图象的影响等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．
导语
通过前面的学习，我们知道形如y＝Asin(ωx＋φ)这类函数的性质，与正弦函数的性质有一定的相似性，那么这类函数的图象与正弦曲线是否有关系呢？带着这个问题，开始今天的学习．
一、φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响
问题1 你能在同一坐标系下画出y＝sin x和y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的函数图象吗？
提示
我们分别在这两条曲线上选取纵坐标相同的点A，B，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，在上述移动的过程中，线段AB的长度保持不变．可以发现，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上的点的横坐标加eq \f(π,3)，这说明y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象可以看作是把正弦函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移eq \f(π,3)个单位长度而得到的．
知识梳理
φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响
例1 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？
解 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移eq \f(π,6)个单位长度而得到的．
延伸探究
1．函数y＝sin x的图象可以看作是由y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象经过怎样的变换而得到的？
解 函数y＝sin x的图象，可以看作是由y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))上所有的点向左平移eq \f(π,6)个单位长度而得到的．
2．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的图象可以看作是由y＝sin(－x)的图象经过怎样的变换而得到的？
解 因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))))，故是由y＝sin(－x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到的．
反思感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减．
跟踪训练1 为了得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象只需将函数y＝cs x的图象________________而得到．
答案 向右平移eq \f(π,6)个单位长度
解析 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，
只需把y＝cs x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度即得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象．
二、A(A >0且A≠1)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
问题2 在同一坐标系下画出y＝sin x和y＝3sin x的图象，你能得出什么结论？
提示 (图略)可以发现对于同一x值，y＝3sin x的图象上的点的纵坐标总是等于y＝sin x的图象上对应点纵坐标的3倍．
问题3 在同一坐标系下函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))和y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象如图所示，问题2的结论还成立吗？
提示 依然成立．
知识梳理
A(A >0且A≠1)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
例2 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标变为原来的________倍，将会得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象．
答案 3
反思感悟 在研究A(A>0且A≠1)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标变成原来的A倍(横坐标不变)，即可得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
跟踪训练2 为了得到函数y＝eq \f(1,4)cs x的图象，只需把余弦曲线y＝cs x上所有点的( )
A．横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标变为原来的eq \f(1,4)倍，纵坐标不变
C．纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标变为原来的eq \f(1,4)倍，横坐标不变
答案 D
三、ω(ω >0且ω≠1)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
问题4 如图是y＝sin x与y＝sin eq \f(1,2)x的图象，你能发现什么？
提示 由图象我们可以看到，函数周期从2π变成了4π，即函数的图象拉长了，对于同一个y值，y＝sin eq \f(1,2)x的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上对应点的横坐标的2倍，这说明y＝sin eq \f(1,2)x的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．
问题5 借助多媒体，在同一坐标系下画出y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))和y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的函数图象如图所示，你能得到什么？
提示 可以发现，对于同一个y值，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象上的点的横坐标总是等于y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象上的点的横坐标的eq \f(1,2)，这说明y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象可以看作是把正弦曲线y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))上所有点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)而得到的．
知识梳理
ω(ω >0且ω≠1)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
例3 (1)为了得到y＝sin 4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线y＝sin x上所有点的( )
A．横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标变为原来的eq \f(1,4)倍，纵坐标不变
C．纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标变为原来的eq \f(1,4)倍，横坐标不变
答案 B
(2)将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度，再把各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,10))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,5)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,20)))
答案 C
解析 将y＝sin x的图象向右平移eq \f(π,10)个单位长度得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,10)))的图象，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10)))的图象．
反思感悟 在研究 ω(ω>0且ω≠1)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标变为原来的eq \f(1,ω)倍(纵坐标不变)，即可得到y＝sin(ωx＋φ)的图象．
跟踪训练3 函数y＝cs x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cs ωx，则ω的值为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 函数y＝cs xeq \(――――――――――→,\s\up7(纵坐标不变，横坐标变为),\s\d5(原来的2倍))
y＝cs eq \f(1,2)x，所以ω＝eq \f(1,2).
1．知识清单：
(1)y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响．
(2)y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：先平移和先伸缩作图时平移的量不一样．
1．要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象，只要将函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,3)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度
D．向右平移eq \f(π,6)个单位长度
答案 A
2．要得到函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))的图象，只需将y＝cs 3x的图象( )
A．向右平移eq \f(π,6)个单位长度
B．向左平移eq \f(π,6)个单位长度
C．向右平移eq \f(π,18)个单位长度
D．向左平移eq \f(π,18)个单位长度
答案 C
解析 将y＝cs 3x的图象向右平移eq \f(π,18)个单位长度，可得函数y＝cs 3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,18)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))的图象．
3．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，π))上的简图是( )
答案 A
解析 当x＝0时，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)0)，
所以ωπ＝kπ，k∈N*，即ω＝k，k∈N*，
因此正数ω的最小值是1.
6．(多选)有下列四种变换，其中能使y＝sin x的图象变为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象的是( )
A．向左平移eq \f(π,4)个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍
B．向左平移eq \f(π,8)个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍
C．各点横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍，再向左平移eq \f(π,4)个单位长度
D．各点横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍，再向左平移eq \f(π,8)个单位长度
答案 AD
解析 由y＝sin x的图象变为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象有两种变换方式，第一种：先平移，后伸缩，向左平移eq \f(π,4)个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍；第二种：先伸缩，后平移，各点横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍，再向左平移eq \f(π,8)个单位长度．
7．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))图象上各点的纵坐标不变，将横坐标变为原来的5倍，可得到函数____________的图象．
答案 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x－\f(π,3)))
解析 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象eq \(――――――――――→,\s\up7(图象上各点的纵坐标不变),\s\d5(横坐标变为原来的5倍))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x－\f(π,3)))的图象．
8．将函数y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，则所得图象的解析式为________．
答案 y＝－eq \r(2)cs 2x
解析 将函数y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，所得图象对应的函数为y＝eq \r(2)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋\f(π,3)))＝eq \r(2)cs(2x＋π)＝－eq \r(2)cs 2x.
9．函数f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,8)))－3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
解 先把函数y＝sin x的图象向右平移eq \f(π,8)个单位长度，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)))的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,8)))的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,8)))的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,8)))－3的图象．
10．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
(2)求函数f(x)的增区间；
(3)试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样变换得到？
解 (1)列表如下：
描点连线，图象如图所示．
(2)令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5π,12)＋kπ))，k∈Z.
(3)先将g(x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，再将所得函数图象的横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，即可得到f(x)的图象．
11．将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( )
A．y＝sin x
B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,3)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(2π,3)))
D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
答案 B
解析 将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度后，得到函数y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象，再将图象上各点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,3)))的图象．
12．(多选)将函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象向右平移eq \f(π,2)个单位长度，所得函数的性质有( )
A．在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(7π,12)))上是减函数
B．在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(7π,12)))上是增函数
C．周期为π
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))是一个对称中心
答案 BCD
解析 把函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象向右平移eq \f(π,2)个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＋\f(π,3)))，
即y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3))).
其周期为π，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))是一个对称中心．
当函数为增函数时，由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(2π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得
eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(7π,12)＋kπ，k∈Z，
取k＝0，得eq \f(π,12)≤x≤eq \f(7π,12).所得图象对应的函数在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(7π,12)))上为增函数．
13．设ω>0，函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))＋2的图象向右平移eq \f(4π,3)个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,3)
C.eq \f(3,2) D．3
答案 C
解析
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))＋2eq \(――――――――――→,\s\up10(向右平移\f(4π,3)个单位长度))
y1＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4π,3)))＋\f(π,3)))＋2
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)－\f(4π,3)ω))＋2.
因为y与y1的图象重合，
所以－eq \f(4π,3)ω＝2kπ(k∈Z)．
所以ω＝－eq \f(3,2)k.
又因为ω>0，k∈Z，
所以k＝－1时，ω取最小值为eq \f(3,2).
14．将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))图象上每一点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到y＝Asin x的图象，则ω＝________，φ＝________.
答案 eq \f(1,2) eq \f(π,6)
解析 y＝Asin x的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象，再将每一点的横坐标变为原为的2倍(纵坐标不变)，得到y＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象，即为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，
所以f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))，
所以ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6).
15．已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x)．若geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))的值为________．
答案 eq \r(2)
解析 ∵f(x)的最小正周期为π，
∴eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝Asin 2x，
将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，
所得图象对应的函数为g(x)＝Asin x，
∵geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，
∴geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝Asin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)A＝eq \r(2)，
∴A＝2，∴f(x)＝2sin 2x，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝2sin eq \f(3π,4)＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2).
16．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0.
(1)若y＝f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(2π,3)))上为增函数，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a0，根据题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)ω≥－\f(π,2)，,\f(2π,3)ω≤\f(π,2)，))
解得0