高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.2 圆的一般方程教课内容课件ppt

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.2 圆的一般方程教课内容课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了圆的一般方程的理解，知识梳理，注意点，反思感悟，∴该圆的面积为9π，求圆的一般方程，随堂演练，∴D＝4E＝－6，课时对点练，x－2y－3＝0等内容，欢迎下载使用。
1.掌握圆的一般方程及其特点.
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.
3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
　　同学们，上节课我们学习了圆的标准方程，我们知道圆的标准方程是关于x，y的二元二次方程，今天我们要探究的是对于任意的二元二次方程是否都是圆的方程.
问题1　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
提示　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形.
问题2　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
1.圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程_________________ 称为圆的一般方程，其中D，E，F都是常数.2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.x2，y2系数不为1时，要把系数都化为1再判断.
若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.
由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
(1)已知方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为A.2,4,4 B.－2,4,4C.2，－4,4 D.2，－4，－4
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为_____.
由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，
已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.
由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.
延伸探究若本例中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？
求圆的方程的策略(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程.(2)待定系数法：选择圆的标准方程或一般方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程.
　　　 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4 ，求圆的方程.
方法一　(待定系数法)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点P，Q的坐标分别代入上式，得
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， ③
∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④
故圆的一般方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.方法二　(几何法)由题意，得线段PQ的垂直平分线的方程为x－y－1＝0，∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1).
故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
圆的一般方程的综合应用
问题3　轨迹和轨迹方程有什么区别？
提示　轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式.
点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式，得点P的坐标为(2x－2,2y).∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
延伸探究1.在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程.
设T(x，y).因为点T是过点B的弦的中点，所以OT⊥BT.
即x(x－1)＋y(y－1)＝0，整理得x2＋y2－x－y＝0.故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.
2.本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程.
设点E(x，y)，P(x0，y0).
整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，
求与圆有关的轨迹问题的方程(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0).
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，
∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点.轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
1.知识清单： (1)圆的一般方程的定义及其理解. (2)求圆的一般方程. (3)圆的一般方程的综合应用.2.方法归纳：公式法、数形结合法.3.常见误区：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0并不一定都能表示圆的方 程，表示圆时易忽视隐藏的条件D2＋E2－4F>0.
1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是
根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，
2.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2,3)，D，E分别为A.4，－6 B.－4，－6 C.－4,6 D.4,6
又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)，
3.经过A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)三点的圆的方程为A.x2＋y2＋x－3y－2＝0B.x2＋y2＋3x＋y－2＝0C.x2＋y2＋x＋3y＝0D.x2＋y2－x－3y＝0
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，代入A，B，C三点有
故所求圆的方程为x2＋y2－x－3y＝0.
4.已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是_____________________.
(x－8)2＋y2＝36(y≠0)
设C(x，y)(y≠0)，
∵B(4,0)，且AC边上的中线BD长为3，
即(x－8)2＋y2＝36(y≠0).
1.若圆的一般方程为x2＋y2＋6x＋6＝0，则该圆的圆心和半径分别是
2.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为A.8π B.4πC.2π D.π
原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴圆的面积为S＝πr2＝2π.
∴1－a>0，∴a0，即m2>0，∴m≠0，
7.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0上任一点A关于直线x－ay＋2＝0对称的点A′仍在该圆上，则a＝____.
依题意圆心在直线x－ay＋2＝0上，圆的方可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
8.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0， )在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为 ，则圆C的一般方程为_________________.
x2＋y2－4x－5＝0
设圆C的圆心坐标为(a,0)(a>0)，
解得a＝2(a＝－2舍去)，
所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0.
9.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为 ，求圆的一般方程.
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
10.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆.(1)求t的取值范围；
由圆的一般方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0得，[－2(t＋3)]2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)>0，
(2)求圆的圆心和半径；
(3)求该圆的半径r的最大值及此时圆的标准方程.
11.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，
故该圆的圆心在第四象限.
12.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5
把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心C(2，－1).设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，
∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
13.若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于
所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，
14.设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是______________.
圆的方程x2＋y2－2x－3＝0，化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1,0)，
15.当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是A.(x＋3)2＋y2＝4 B.(x－3)2＋y2＝1C.(2x－3)2＋4y2＝1 D.(2x＋3)2＋4y2＝1
设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，
∴x1＝2x－3，y1＝2y.又点P在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，故选C.
16.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,0)，B(1,0).若动点C满足|AC|＝ |BC|，求△ABC的面积的最大值.