【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件限时小练9　用空间向量证明平行

限时小练9　用空间向量证明平行

1. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形.

证明　如图，以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E，C1(0，1，1)，F，

∴＝，＝，

＝，＝，

∴＝，＝，

∴∥，∥，又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，

∴四边形AEC1F是平行四边形.

2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：

(1)FC1∥平面ADE；

(2)平面ADE∥平面B1C1F.

证明　如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，

则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，

所以＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1).

(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，

则n1⊥，n1⊥，

即得

令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2).

因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.

又因为FC1⊄平面ADE，

所以FC1∥平面ADE.

(2)因为＝(2，0，0)，

设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.

由n2⊥，n2⊥，得

得

令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，

因为n1＝n2，平面ADE与平面B1C1F不重合，所以平面ADE∥平面B1C1F.