人教A版（2019）高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》单元测试卷（较易）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 下列各组函数中，表示同一函数的是．(    )

A. 与
B. 与
C. 与
D. 与

2. 已知奇函数在区间上单调递增，则在区间上(    )

A. 单调递增，且最大值为 B. 单调递增，且最大值为
C. 单调递减，且最大值为 D. 单调递减，且最大值为

3. 偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上       

A. 单调递增，且有最小值 B. 单调递增，且有最大值
C. 单调递减，且有最小值 D. 单调递减，且有最大值

4. 下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知幂函数在上是减函数，则实数(    )

A.  B.  C. 或 D.

6. 已知，若，则下列各式中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 年月日起我国实施了个人所得税的新政策，其中包括：个税起征点为元每月应纳税所得额含税收入个税起征点专项附加扣除专项附加扣除包括赡养老人、子女教育、继续教育、大病医疗、住房租金、住房贷款利息，其中前两项的扣除标准为赡养老人专项每月共扣除元，子女教育专项每个子女每月扣除元新个税政策的税率表部分内容如下：

现李某月收入元，膝下有两名子女，需要赡养老人除此之外，无其他专项附加扣除，专项附加扣除均按标准的扣除，则李某每月应缴纳的个税金额为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

8. 成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列四组函数中，不表示同一函数的一组是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

10. 函数是定义在上的奇函数，下列命题：

；
若在上有最小值，则在上有最大值；
若在上为增函数，则在上为减函数；
若时，，则
其中正确的命题是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知幂函数的图象经过点，则下列判断中正确的是(    )

A. 函数图象经过点
B. 当时，函数的值域是
C. 函数满足
D. 函数的单调减区间为

12. 德国数学家狄里克雷在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为；当自变量取无理数时，函数值为下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是(    )

A.  B. 的值域为
C. 为奇函数 D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 如图，函数的图象是折线段，其中点，，的坐标分别为，，，则          ．

14. 如果奇函数在上是减函数，且最小值是，那么在上的最大值为          ．
15. 幂函数的图象过点，则的解析式是          ．
16. 某产品的总成本单位：万元与产量单位：台之间的函数关系式是，若每台产品的售价为万元，则生产者不亏本时销售收入不小于总成本的最低产量是          台．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知的定义域为，求的定义域．已知，求函数的解析式．
18. 设，，令．

求的解析式

求的值域．

19. 已知函数．

判断函数在上的单调性并证明；

判断函数的奇偶性，并求在区间上的最大值与最小值．

20. 已知函数，且．

求的值；

判断的奇偶性；

当时，求函数的最小值．

21. 若点在幂函数的图像上，点在幂函数的图像上．

求和的解析式；

定义，求函数的最大值和单调区间．

22. 某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：年月份第天的单件销售价格单位：元，第天的销售量单位：件为常数，且第天该商品的销售收入为元销售收入销售价格销售量．

求的值；

该月第几天的销售收入最高？最高为多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查同一函数概念，属于基础题．
根据函数的定义域，解析式是否相同逐个检验即可．

【解答】

解：对于选项 A的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数， A错误
对于选项B；的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数， B错误
对于选项C定义域为，定义域，  定义域不同，不是同一函数， C错误
对于选项D ，两个函数的定义域都是不等于的实数，定义域和解析式都相同，是同一函数，D正确．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性与单调性综合，属于基础题．
根据奇函数在对称区间上单调性相同可知，在区间上单调递增，进而根据选项得答案．

【解答】

解：因为函数是奇函数，且在区间上单调递增，
由函数的奇偶性性质：奇函数在对称区间上单调性相同可知在区间上单调递增，
在时，有最大值，
在时，有最小值，
故选A．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性和单调性的判断及运用：求最值，考查判断能力，属于基础题．
由偶函数的图象关于轴对称，则有在上单调递增，再由单调性，即可得到最值．

【解答】

解：偶函数在区间上单调递减，
则由偶函数的图象关于轴对称，则有在上单调递增，
即有最小值为，最大值．
对照选项，A正确．
故选A．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是函数的单调性和奇偶性，熟练掌握各种基本初等函数的单调性和奇偶性，是解答的关键，属于基础题．
分析给定四个函数的奇偶性，及在定义域内的单调性，可得答案．

【解答】

解：函数，对于为上的减函数，为上的减函数，故是上的减函数，故A不满足题意； 
函数是奇函数，但在定义域内不是增函数，故B不满足题意；
函数，令，，是上的奇函数，而，故该函数不是定义域内的增函数，故C不满足题意；
函数令，而令，得，
故函数的定义域为，
且，故该函数为定义域上的奇函数，
在内，令 为增函数，
而函数也为增函数，故函数在定义域内为增函数，故D满足题意；
故选D．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查幂函数的图象和性质，结合幂函数的定义以及幂函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题．
根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可．

【解答】

解：函数是幂函数，
，即，得或，
在上是减函数，
，
得，
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查幂函数的单调性，考查比较大小，属于基础题．
根据幂函数的单调性，可得函数在上单调递增，结合，可得答案．
【解答】
解：因为，所以．
因为函数在上单调递增，
所以，
故选C．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数的应用与函数值计算，属于基础题．
首先审清题意，由题意确定应纳税所得额，再分段计算李某的个人所得税额．

【解答】

解：李某月应纳税所得额含税为：元， 
不超过的部分税额为元， 
超过元至元的部分税额为元， 
所以李某月应缴纳的个税金额为元． 
故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查最值问题，涉及二次函数区间的最值，属基础题．
设两段长度分别为和，其中，可得面积之和，由二次函数的最值可得．

【解答】

解：设两段长度分别为和，其中，
可得面积之和
，
由二次函数可知当时，上式取最小值，
故选D．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
结合函数的基本概念，通过对函数的定义域和函数的解析式的判断逐一分析求解即可．

【解答】

解：对于，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于，因为，，
两个函数的解析式相同，又两个函数的定义域相同都为，所以是同一函数；
对于，由得的定义域为的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于，由得的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数．
故选ACD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查奇函数的定义以及性质，属于基础题．
先根据奇函数的定义判断出对；根据奇函数的图象关于原点对称判断出对错；由，判断出错误．
【解答】
解：因为是定义在上的奇函数，
所以，所以，故对；
因为奇函数的图象关于原点对称，
若在上有最小值为，则在上有最大值为；故对；
根据奇函数图象的对称性以及在上为增函数，则在上为增函数；故错；
对于，因为，故错误；
所以正确的命题有，
故选AB．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数的解析式、单调性和奇偶性，属于基础题．
根据幂函数过点求出幂函数的解析式，再逐一分析即可．

【解答】

解：幂函数的图象经过点，
所以，解得，所以，
所以，即函数图象经过点，故A正确；
当时，，
函数的值域是，B正确，
易知，函数为偶函数，故C错误；
函数的单调减区间为，故D正确；
故选ABD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的定义及函数的性质的应用，解题的关键是正确理解已知定义．
结合已知定义可写出函数解析式，然后结合函数的性质逐一判断四个选项得答案．

【解答】

解：由题意可得，
由于为无理数，则，故A正确；
结合函数的定义及分段函数的性质可知，函数的值域为，故B正确；
由的图象不关于原点对称，可知不是奇函数，故C错误；
由函数解析式及周期函数的概念，可得任意一个有理数都是函数的周期，则，故D正确．
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查求函数值，函数图象的应用，分段函数解析式，属于基础题．
由题意，根据图象求出的解析式，再由解析式求函数值即可．

【解答】

解：由图象可得，
由解析式知，

即．

又因为，所以．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，奇函数的图象和性质，属于基础题．
根据奇函数在对称区间上的单调性不变，结合题意从而得出结论．

【解答】

解：在上是减函数，且最小值是，
故当时，．
因为奇函数在对称区间上的单调性相同，
所以在上为减函数，
即，
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

根据幂函数的概念设，将点的坐标代入即可求得值，从而求得函数解析式．
本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．

【解答】

解：设，
幂函数的图象过点，

．
这个函数解析式为．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数模型的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据题意设产品的利润为万元，从而可根据利润得出最低产量．

【解答】

解：设产品的利润为万元，
总成本与产量之间的函数关系式是，
利润，
若生产者不亏本，则，
解得或舍去，即最低产量为台．
故答案为．

17.【答案】解：函数的定义域为， 
可得， 
则
则中：，
解得 ，
可得的定义域为； 
令，则，
则，，
所以函数的解析式为． 

【解析】 本题考查复合函数的定义域及函数解析式的求法，属于基础题．
由题意得中， 则，即有，解得 ，可得的定义域．
由换元法求解，令，则，则，，从而得函数解析式．
 

18.【答案】解：由题意可得
由二次函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，
由一次函数性质可知，在上单调递增，
又，，，，
的最小值为，最大值为，
故函数的值域为． 

【解析】本题考查分段函数解析式及求函数的值域，涉及一次函数与二次函数的性质，属于基础题目．
利用分段函数得出函数解析式即可；
利用一次函数与二次函数的性质得出函数的值域即可．
 

19.【答案】解：在单调递减，证明如下：
任取，

，
，，，
，即在单调递减；
因为函数的定义域对称，
且，
所以为奇函数，
又由知在单调递减，
所以在也单调递减，
所以在区间，，． 

【解析】本题考查了函数的单调性、函数的最值函和函数的奇偶性，是中档题．
先得出在单调递减，由单调性的定义证明即可；
由奇偶性的定义证明奇偶性，再结合单调性得出最值．
 

20.【答案】解：，，．

函数的定义域为，关于原点对称．

，，是奇函数．

设任意的，，且，则，

，，且，，且，

所以当时，，即，此时，为减函数，

当时，，即，此时，为增函数，

所以函数在上为减函数，在上是增函数．

所以函数的最小值为．

【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，函数的最值，注意运用定义法，考查化简整理的运算能力，属于基础题．
由，根据解析式计算可得；
利用奇函数的定义可得；
利用函数单调性定义判断函数在上为减函数，在上是增函数，可得函数的最小值为．
 

21.【答案】解：设幂函数，，
因为点在幂函数的图像上，点在幂函数的图像上，
所以，，解得，；
所以，；
因为
所以
所以作出函数的图象，如下：

由图象可得单调递增区间为，单调递减区间为，；
所以当时，函数有最大值． 

【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质，考查函数的单调区间与函数最值，考查学生灵活运用数学知识的能力，属于基础题．
设幂函数解析式，待定系数法求解即可．
由题意得到，利用函数图象得到最大值及单调区间．
 

22.【答案】解：当时，由，
解得 ；
当时，销售收入，
，
故当时，；
当时，销售收入，
，
故当时，，
因为，
故第天的销售收入最高，为元 

【解析】本题考查简单的数学建模思想方法，考查分段函数值域的求法，属于中档题．
由已知结合求得值；
直接利用配方法求二次函数的最值得答案．