人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）随堂练习题

  课时作业 41

一、选择题

1．将函数y＝sin 2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f(x)的图象，则(　　)

A．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

B．f(x)的最小正周期为

C．y＝f(x)的图象关于点对称

D．f(x)在上单调递增

解析：函数y＝sin 2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得：y＝sin x，即f(x)＝sin x.

根据正弦函数的图象及性质，可知：对称轴x＝＋kπ，k∈Z，所以A不对．

周期T＝2π，所以B不对．

对称中心坐标为(kπ，0)，k∈Z，所以C不对．

单调递增区间为，k∈Z，所以f(x)在上单调递增．

答案：D

2．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)

A．y＝f(x)是奇函数

B．y＝f(x)的周期为π

C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

D．y＝f(x)的图象关于点对称

解析：函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后，得到函数f(x)＝sin＝cos x的图象，f(x)＝cos x为偶函数，周期为2π；又因为f＝cos＝0，所以f(x)＝cos x的图象不关于直线x＝对称；又由f＝cos＝0，知f(x)＝cos x的图象关于点对称．故选D.

答案：D

3．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝(　　)

A.　　B.

C.    D.

解析：由题意得周期T＝2＝2π，

∴2π＝，即ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，

∴f＝sin＝±1.

∵0<φ<π，∴<φ＋<，∴φ＋＝，∴φ＝.

答案：A

4．把函数f(x)＝sin的周期扩大为原来的2倍，再将其图象向右平移个单位长度，则所得图象的解析式为(　　)

A．y＝sin  B．y＝cos

C．y＝sin  D．y＝sin

解析：y＝siny＝siny＝sin＝sin.

答案：A

二、填空题

5．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象的解析式为________．

解析：将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到的图象的解析式为y＝sin，再向上平移2个单位，得到的图象的解析式为y＝sin＋2.

答案：y＝sin＋2

6．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________.

解析：依题意知＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2.

答案：2

7．如图所示的曲线是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．

解析：由函数图象可知A＝2，T＝－＝π，即＝π，故ω＝2.

又点是五点法作图的最大值点，即 2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝＋2kπ，k∈Z.故所求函数的解析式为y＝2sin.

答案：y＝2sin

三、解答题

8．已知函数y＝sin＋1.

(1)用“五点法”画出函数的草图；

(2)函数图象可由y＝sin x的图象怎样变换得到？

解析：(1)列表.

描点连线如图所示．

将y＝sin＋1在上的图象向左(右)平移kπ(k∈Z)个单位，

即可得到y＝sin＋1的图象．

(2)y＝sin xy＝sin

y＝sin

y＝sin＋1.

9.

函数y＝Asin(ωx＋φ)

的图象的一段如图所示，试确定A，ω，φ的值．

解析：有两种方法．

法一：由图象可知振幅A＝3.

又周期T＝－＝π，∴ω＝＝＝2.

由于图象过点，

∴－×2＋φ＝kπ，φ＝＋kπ(k∈Z)，

而|φ|<，∴φ＝.

法二：由图象知T＝π，A＝3，∴ω＝＝＝2，且图象过，可知图象由y＝sin 2x的图象向左平移＋kπ个单位长度得到，

∴y＝3sin，

即y＝3sin.

又已知|φ|<，∴φ＝.

[尖子生题库]

10．已知函数f(x)＝sin＋.

(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；

(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；

(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．

解析：(1)函数f(x)的振幅为，最小正周期T＝＝π，

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

所以f(x)的单调增区间为(k∈Z)．

(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，

所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)；

令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，

所以对称中心为(k∈Z)．

(3)sin＝－1，即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，

x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为，

此时x的取值集合是.