2023届高考一轮复习加练必刷题第32练　两角和与差的正弦、余弦和正切公式【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第32练　两角和与差的正弦、余弦和正切公式【解析版】，共8页。试卷主要包含了下列说法不正确的是等内容，欢迎下载使用。

考点一 两角和与差的三角函数公式
1．(2022·内江模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(1,7) B．7 C．－eq \f(1,7) D．－7
答案 A
解析 ∵sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan α·tan \f(π,4))＝eq \f(1,7).
2．若α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin α＝eq \f(2\r(5),5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β))＝－eq \f(\r(10),10)，则sin β等于( )
A.eq \f(7\r(2),10) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,10)
答案 B
解析 β＝α－(α－β)，
∵eq \f(π,2)＜α＜π，eq \f(π,2)＜β＜π，
∴－π＜－β＜－eq \f(π,2)，
∴－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2)，
∵sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)＜0，
∴－eq \f(π,2)＜α－β＜0，则cs(α－β)＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β)))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))2)＝eq \f(3\r(10),10)，
∵sin α＝eq \f(2\r(5),5)，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)))2)＝－eq \f(\r(5),5)，
则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(\r(2),2).
3．(2022·南京模拟)若cs(α＋β)＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(5,13)，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A．－eq \f(33,65) B.eq \f(33,65) C.eq \f(56,65) D．－eq \f(16,65)
答案 C
解析 ∵(α＋β)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝α＋eq \f(π,4)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs(α＋β)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))，
∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴0<α＋β<π，－eq \f(π,4)<β－eq \f(π,4)∴sin(α＋β)＝eq \f(4,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(12,13)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＝eq \f(56,65).
考点二 两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
4．设a＝sin 17°cs 45°＋cs 17°sin 45°，b＝2cs213°－1，c＝eq \f(\r(3),2)，则有( )
A．cC．a答案 A
解析 化简得a＝sin 17°cs 45°＋cs 17°sin 45°＝sin(17°＋45°)＝sin 62°，
b＝2cs213°－1＝cs 26°＝cs(90°－64°)＝sin 64°，
c＝eq \f(\r(3),2)＝sin 60°，
∵正弦函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
∴sin 60°即c5．(多选)计算下列几个式子，结果为eq \r(3)的是( )
A．4sin eq \f(π,6)cs eq \f(π,6)
B．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 35°cs 25°＋sin 55°cs 65°))
C.eq \f(tan \f(π,6),1－tan2\f(π,6))
D.eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)
答案 ABD
解析 对于A,4sin eq \f(π,6)cs eq \f(π,6)＝2sin eq \f(π,3)＝eq \r(3)；
对于B，原式＝ 2(sin 35°cs 25°＋cs 35°sin 25°)
＝2sin(35°＋25°)＝2sin 60°＝eq \r(3)；
对于C，原式＝eq \f(1,2)·eq \f(2tan \f(π,6),1－tan2\f(π,6))＝eq \f(1,2)tan eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)；
对于D，原式＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°·tan 15°)
＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝eq \r(3).
6．(2022·琅琊模拟)tan 80°＋tan 40°－eq \r(3)tan 80°·tan 40°＝________.
答案 －eq \r(3)
解析 根据两角和的正切公式，
可得tan 120°＝tan(80°＋40°)＝eq \f(tan 80°＋tan 40°,1－tan 40°tan 80°)＝－eq \r(3)，
所以tan 40°＋tan 80°＝－eq \r(3)(1－tan 40°·tan 80°)
＝－eq \r(3)＋eq \r(3)tan 40°tan 80°，
所以tan 80°＋tan 40°－eq \r(3)tan 80°tan 40°＝－eq \r(3).
考点三 三角的变换问题
7．已知α＋β＋γ＝π，β为锐角，tan α＝3tan β，则eq \f(1,tan γ)＋eq \f(1,tan α)的最小值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,2) D.eq \f(3,4)
答案 A
解析 ∵α＋β＋γ＝π，
∴tan γ＝－tan(α＋β)＝－eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－eq \f(4tan β,1－3tan2β)，
∴eq \f(1,tan γ)＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(3tan2β－1,4tan β)＋eq \f(1,3tan β)＝eq \f(9tan2β＋1,12tan β)
＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan β＋\f(1,9tan β)))≥eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,2)，
当且仅当tan β＝eq \f(1,9tan β)，即tan β＝eq \f(1,3)时取等号，
∴eq \f(1,tan γ)＋eq \f(1,tan α)的最小值为eq \f(1,2).
8．(多选)下列说法不正确的是( )
A．存在x∈R，使得1－cs3x＝lg2eq \f(1,10)
B．函数y＝sin 2xcs 2x的最小正周期为π
C．函数y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0))
D．若角α的终边经过点(cs(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角
答案 ABC
解析 在A中，因为cs x∈[－1,1]，
所以1－cs3x≥0，
因为lg2eq \f(1,10)所以不存在x∈R，
使得1－cs3x＝lg2eq \f(1,10)，故A错误；
在B中，函数y＝sin 2xcs 2x＝eq \f(1,2)sin 4x的最小正周期为eq \f(π,2)，故B错误；
在C中，令2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
得x＝－eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，
所以函数y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋\f(kπ,2)，0))，k∈Z，故C错误；
在D中，因为cs(－3)＝cs 3<0，sin(－3)＝－sin 3<0，所以角α是第三象限角，故D正确．
9．(2022·沙坪坝模拟)已知锐角α满足cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))－sin α＝eq \f(1,3)，则sin α等于( )
A.eq \f(2\r(6)－1,6) B.eq \f(2\r(2)－\r(3),6)
C.eq \f(2\r(6)＋1,6) D.eq \f(2\r(2)＋\r(3),6)
答案 A
解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))－sin α＝cs αcs eq \f(π,6)＋sin αsin eq \f(π,6)－sin α
＝cs αcs eq \f(π,6)－sin αsin eq \f(π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3).
由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))可得α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，
又cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3)>0，所以α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝eq \f(2\r(2),3)，
所以sin α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)－\f(π,6)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)
＝eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(6)－1,6).
10．(多选)已知α，β是锐角，cs α＝eq \f(\r(5),5)，cs(α－β)＝eq \f(3\r(10),10)，则cs β等于( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(7\r(2),10) C.eq \f(\r(2),10) D．－eq \f(\r(2),2)
答案 AC
解析 由α是锐角，cs α＝eq \f(\r(5),5)，
得sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，
又α，β是锐角，则－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，得α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
又cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β))＝eq \f(3\r(10),10)，
则sin(α－β)＝±eq \f(\r(10),10)，
则cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)±eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(3\r(2)±2\r(2),10)，
得cs β＝eq \f(\r(2),2)或cs β＝eq \f(\r(2),10).
11．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))的值是( )
A．－eq \f(2\r(3),5) B.eq \f(2\r(3),5)
C．－eq \f(4,5) D.eq \f(4,5)
答案 C
解析 ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝cs αcs eq \f(π,6)＋sin αsin eq \f(π,6)＋sin α＝eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \f(1,2)sin α＋sin α＝eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \f(3,2)sin α＝eq \f(4\r(3),5)，
∴eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(4,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin α＋\f(1,2)cs α))＝－eq \f(4,5).
12．已知sin(α＋15°)＝eq \f(3,5)，则cs(α－30°)等于( )
A.eq \f(7\r(2),10) B．－eq \f(\r(2),10)
C.eq \f(7\r(2),10)或eq \f(\r(2),10) D.eq \f(7\r(2),10)或－eq \f(\r(2),10)
答案 D
解析 ∵sin(α＋15°)＝eq \f(3,5)，
∴cs(α＋15°)＝eq \f(4,5)或－eq \f(4,5).
当cs(α＋15°)＝eq \f(4,5)时，cs(α－30°)＝cs[(α＋15°)－45°]＝cs(α＋15°)cs 45°＋sin(α＋15°)·sin 45°＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)＋\f(3,5)))＝eq \f(7\r(2),10)；
当cs(α＋15°)＝－eq \f(4,5)时，cs(α－30°)＝cs[(α＋15°)－45°]＝cs(α＋15°)cs 45°＋sin(α＋15°)sin 45°＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)＋\f(3,5)))＝－eq \f(\r(2),10)，
∴cs(α－30°)＝eq \f(7\r(2),10)或－eq \f(\r(2),10).
13．已知圆O：x2＋y2＝eq \f(1,4)，直线l：y＝kx＋b(k≠0)，l和圆O交于E，F两点，以Ox为始边，逆时针旋转到OE，OF为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题：
①当k为常数，b为变数时，sin(α＋β)是定值；
②当k为变数，b为变数时，sin(α＋β)是定值；
③当k为变数，b为常数时，sin(α＋β)是定值．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，
由三角函数的定义得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝\f(1,2)cs α，,y1＝\f(1,2)sin α，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝\f(1,2)cs β，,y2＝\f(1,2)sin β，))
将直线l的方程与圆O的方程联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,x2＋y2＝\f(1,4)，))
得(k2＋1)x2＋2kbx＋b2－eq \f(1,4)＝0，
由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(2kb,k2＋1)，,x1x2＝\f(b2－\f(1,4),k2＋1)，))
所以sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝4x2y1＋4x1y2
＝4x2(kx1＋b)＋4x1(kx2＋b)＝8kx1x2＋4b(x1＋x2)
＝eq \f(8k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b2－\f(1,4)))－8kb2,k2＋1)＝－eq \f(2k,k2＋1)，
因此，当k是常数时，sin(α＋β)是定值.
14．已知数列{an}满足an＝eq \f(sin 1°,cs n°csn－1°)，{an}的前n项的和记为Sn，则eq \f(S60,S30)＝________.
答案 3
解析 ∵an＝eq \f(sin 1°,cs n°cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°)
＝eq \f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(n°－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°)),cs n°cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°)
＝eq \f(sin n °cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°－cs n°sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°,cs n°cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°)
＝tan n°－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°
＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))°＋tan n°，
∴Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－tan 0°＋tan 1°))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－tan 1°＋tan 2°))＋
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－tan 2°＋tan 3°))＋…＋[－tan(n－1)°＋tan n°]＝tan n°，
∴eq \f(S60,S30)＝eq \f(tan 60°,tan 30°)＝eq \f(\r(3),\f(\r(3),3))＝3.