2023届高考一轮复习加练必刷题第75练　双曲线【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第75练　双曲线【解析版】，共7页。试卷主要包含了设F1，F2分别是双曲线C，设双曲线C等内容，欢迎下载使用。
考点一 双曲线的定义
1．已知M(－3,0)，N(3,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的左支
C．一条射线 D．双曲线的右支
答案 D
解析 根据双曲线的定义可得|PM|－|PN|＝40)的离心率e＝eq \f(\r(5),2)，
所以e2＝1＋eq \f(1,a2)＝eq \f(5,4)，解得a＝2，
所以F1(0，－eq \r(5))，F2(0，eq \r(5))．
双曲线eq \f(y2,4)－x2＝1的渐近线方程为y＝±2x，由P为该双曲线上支上的一个动点，根据双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|＝4＋|PF2|.
设点P到渐近线y＝2x的距离为d，则|PF1|＋d＝4＋|PF2|＋d，过F2作渐近线y＝2x的垂线，垂足为M，
所以|F2M|＝eq \f(|\r(5)|,\r(5))＝1，
所以|PF1|＋d＝4＋|PF2|＋d≥4＋|F2M|＝5.
所以|PF1|与P到一条渐近线的距离之和的最小值为5.
11．(2022·邯郸模拟)设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的左支上，且eq \f(\(OF1,\s\up6(—→))·\(OP,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(F1P,\s\up6(—→))·\(OP,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|)＝2eq \r(3)，则△PF1F2的面积为( )
A．8 B．8eq \r(3) C．4 D．4eq \r(3)
答案 A
解析 由eq \f(\(OF1,\s\up6(—→))·\(OP,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(F1P,\s\up6(—→))·\(OP,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|)
＝eq \f(\(OF1,\s\up6(—→))＋\(F1P,\s\up6(—→))·\(OP,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(OP,\s\up6(→))·\(OP,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|)＝|eq \(OP,\s\up6(→))|
＝2eq \r(3)，不妨设F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，
所以|OP|＝eq \f(1,2)|F1F2|，所以点P在以|F1F2|为直径的圆上，
即△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形．
故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝48.
又|PF2|－|PF1|＝2a＝4，
所以16＝(|PF2|－|PF1|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝48－2|PF1||PF2|，
解得|PF1||PF2|＝16，
所以＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝8.
12．已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))0，b>0)的右焦点为F(c,0)，渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.将渐近线方程化为一般式bx±ay＝0.
由点到直线的距离公式可知|AF|＝eq \f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b，由eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(5,13)，可得|BF|＝eq \f(13b,5).
设∠AOF＝α，由双曲线对称性可知∠AOB＝2α，
而tan α＝eq \f(b,a)，tan 2α＝eq \f(|AB|,|OA|)＝eq \f(\f(18b,5),a)＝eq \f(18b,5a)，
由二倍角正切公式可知tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan 2α)＝eq \f(2ab,a2－b2)，
即eq \f(18b,5a)＝eq \f(2ab,a2－b2)，
化简可得4a2＝9b2，
则e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(4,9))＝eq \f(\r(13),3).