高中北师大版 (2019)4.3 诱导公式与对称课后测评

1.4.3　诱导公式与对称

1.4.4　诱导公式与旋转

1.计算cos(-780°)的值是(　　)

A.- B.- C. D.

【解析】因为cos(-780°)=cos 780°=cos(2×360°+60°)=cos 60°=，故选C.

【答案】C

2.(多选)若α，β的终边关于y轴对称，则下列等式成立的是(　　)

A.sin α=sin β B.cos α=-cos β

C.cos α=cos β D.sin α=-sin β

【解析】因为α，β的终边关于y轴对称，所以β=π-α+2kπ，k∈Z.根据诱导公式可知，sin β=sin(π-α+2kπ)=sin α.cos β=cos(π-α+2kπ)=-cos α.

【答案】AB

3.已知sin，则cos的值等于 (　　)

A. B. C.- D.-

【解析】由sin，

则cos=cos

=sin.故选A.

【答案】A

4.若sin(π+α)+cos+α=-m，则cos-α+2sin(6π-α)的值为(　　)

A.-m B.-m 

C.m D.m

【解析】因为sin(π+α)+cos+α=-m，

即-sin α-sin α=-2sin α=-m，从而sin α=，

所以cos-α+2sin(6π-α)=-sin α-2sin α

=-3sin α=-m.

【答案】B

5.(多选)下列三角函数式的值与sin的值相同的是(　　)

A.sin2nπ+，n∈Z

B.cos2nπ-，n∈Z

C.sin2nπ+，n∈Z

D.cos(2n+1)π-，n∈Z

【解析】sin2nπ+=sin≠sin;cos2nπ-=cos=sin;sin2nπ+=sin;cos(2n+1)π-=cosπ-=-cos≠sin.

【答案】BC

6.若sin x=a-1(x∈R)有意义，则a的取值范围是　　　　　. 

【解析】要使sin x=a-1(x∈R)有意义，则-1≤a-1≤1，即0≤a≤2.

【答案】[0，2]

7.化简:=　　　　　. 

【解析】原式==-1.

【答案】-1

8.求证:在△ABC中，sin(2B+2C)=-sin 2A.

证明因为A，B，C为△ABC的三个内角，所以A+B+C=π，则2A+2B+2C=2π.

于是2B+2C=2π-2A.

故sin(2B+2C)=sin(2π-2A)=sin(-2A)=-sin 2A.原式成立.

1.已知sin，则cos=(　　)

A. B. C.- D.-

【解析】cos=cos=sin-x=.

【答案】A

2.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时，f(x)=0，则f=(　　)

A. B. C.0 D.-

【解析】f=f+sin=f+sin+sin=f+sin+sin+sin=2sin+sin-=.

【答案】A

3.已知函数f(x)=cos，则下列四个等式中，成立的是　　　　　.(写出正确的序号) 

①f(2π-x)=f(x);②f(2π+x)=f(x);③f(-x)=-f(x);④f(-x)=f(x).

【解析】f(2π-x)=cos=cos=-cos=-f(x)，①不成立;

f(2π+x)=cos=cos=-cos=-f(x)，②不成立;f(-x)=cos=cos=f(x)，③不成立，④成立.

【答案】④

4.设f(θ)=，求f的值.

解因为f(θ)=

==cos θ，

所以f=cos=cos

=cos.

5.已知f(α)=.

(1)化简f(α);

(2)若α是第二象限角，且cos+α=-，求f(α)的值.

解(1)f(α)=

==cos α;

(2)因为α是第二象限角，且cos+α=-sin α=-，所以sin α=，f(α)=cos α=-=-.

5.是否存在角α，β，α∈-，β∈(0，π)，使等式sin(3π-α)=cos-β，cos(-α)=-cos(π+β)同时成立?若存在，求出α，β的值;若不存在，请说明理由.

解假设存在角α，β满足条件，

则由题可得

由①2+②2得sin2α+3cos2α=2.

由sin2α+cos2α=1，

所以sin2α=，所以sin α=±.

因为α∈-，所以α=±.

当α=时，cos β=，因为0<β<π，所以β=;

当α=-时，cos β=，因为0<β<π，所以β=，此时①式不成立，故舍去.

所以存在α=，β=满足条件.