数学必修 第二册第一章 三角函数4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质4.3 诱导公式与对称随堂练习题

这是一份数学必修 第二册第一章 三角函数4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质4.3 诱导公式与对称随堂练习题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝ eq \f(1,3)，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值等于( )
A．－ eq \f(1,3) B． eq \f(1,3) C．－ eq \f(2\r(2),3) D． eq \f(2\r(2),3)
A [cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－ eq \f(1,3).]
2．若sin (θ＋π)<0，cs (θ－π)>0，则θ在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [∵sin (θ＋π)＝－sin θ<0，
∴sin θ>0.
∵cs (θ－π)＝cs (π－θ)＝－cs θ>0，
∴cs θ<0，
∴θ为第二象限角．]
3．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝ eq \f(1,3)，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))的值为( )
A．－ eq \f(2\r(3),3) B． eq \f(2\r(3),3) C． eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,3)
D [cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))))
＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝－ eq \f(1,3).]
4．若sin (π＋α)＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－m，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋2sin (2π－α)的值为( )
A．－ eq \f(2m,3) B． eq \f(2m,3) C．－ eq \f(3m,2) D． eq \f(3m,2)
C [∵sin (π＋α)＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α－sin α＝－m，∴sin α＝ eq \f(m,2).
故cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋2sin (2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－ eq \f(3,2)m.]
5．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋α))＝ eq \f(\r(3),2)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α))的值为( )
A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),2) D．－ eq \f(\r(3),2)
D [sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α))))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋α))＝－ eq \f(\r(3),2).]
二、填空题
6．cs 660°＝________．
eq \f(1,2) [cs 660°＝cs (360°＋300°)＝cs 300°＝cs (180°＋120°)＝－cs 120°＝－cs (180°－60°)＝cs 60°＝ eq \f(1,2).]
7．cs 1°＋cs 2°＋cs 3°＋…＋cs 179°＋cs 180°＝_____________.
－1 [cs 179°＝cs (180°－1°)＝－cs 1°，
cs 178°＝cs (180°－2°)＝－cs 2°，
……
cs 91°＝cs (180°－89°)＝－cs 89°，
∴原式＝(cs 1°＋cs 179°)＋(cs 2°＋cs 178°)＋…＋(cs 89°＋cs 91°)＋(cs 90°＋cs 180°)
＝cs 90°＋cs 180°＝0＋(－1)＝－1.]
8．已知f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cs (πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为常数．若f(2)＝1，则f(2020)＝________．
1 [∵f(2)＝a sin (2π＋α)＋b cs (2π＋β)＋2＝a sin α＋b cs β＋2＝1，∴a sin α＋b cs β＝－1.
f(2 020)＝a sin (2 020π＋α)＋b cs (2 020π＋β)＋2
＝a sin α＋b cs β＋2＝－1＋2＝1.]
三、解答题
9．已知角α终边经过点P(－4，3)，求 eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin （－π－α）,cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α))sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)))的值．
[解] ∵角α终边经过点P(－4，3)，
∴sin α＝ eq \f(3,5)，cs α＝－ eq \f(4,5)，
∴ eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin （－π－α）,cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α))sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)))＝ eq \f(－sin αsin α,－sin αcs α)＝－ eq \f(3,4).
10．求证： eq \f(2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(3,2)π)))＝ eq \f(sinθ＋cs θ,sin θ－cs θ).
[证明] ∵左边＝ eq \f(－2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－θ))（－sin θ）－1,1－2sin2θ)＝ eq \f(－2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))))（－sin θ）－1,1－2sin2θ)＝ eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))（－sin θ）－1,1－2sin2θ)＝ eq \f(－2sinθcs θ－1,sin2θ＋cs2θ－2sin2θ)＝ eq \f(（sinθ＋cs θ）2,sin2θ－cs2θ)＝ eq \f(sinθ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝右边．
∴原式成立．
11．若cs (π＋α)＝－ eq \f(1,2)， eq \f(3,2)π<α<2π，则sin (2π＋α)等于( )
A． eq \f(1,2) B．± eq \f(\r(3),2) C． eq \f(\r(3),2) D．－ eq \f(\r(3),2)
D [由cs (π＋α)＝－ eq \f(1,2)，得cs α＝ eq \f(1,2)，
∵ eq \f(3,2)π＜α＜2π，∴α＝ eq \f(5π,3).故sin (2π＋α)＝sin α＝sin eq \f(5π,3)＝－sin eq \f(π,3)＝－ eq \f(\r(3),2) (α为第四象限角).]
12．(多选题)在△ABC中，给出下列四个式子：①sin (A＋B)＋sin C；②cs (A＋B)＋cs C；③sin (2A＋2B)＋sin 2C；④cs (2A＋2B)＋cs 2C.
其中为常数的是( )
A．① B．② C．③ D．④
BC [①sin (A＋B)＋sin C＝2sin C；
②cs (A＋B)＋cs C＝－cs C＋cs C＝0；
③sin (2A＋2B)＋sin 2C＝sin [2(π－C)]＋sin 2C
＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
④cs (2A＋2B)＋cs 2C＝cs [2(π－C)]＋cs 2C
＝cs 2C＋cs 2C＝2cs 2C.故选BC.]
13．已知cs (75°＋α)＝ eq \f(1,3)，则sin (α－15°)＋cs (105°－α)的值是________．
－ eq \f(2,3) [sin (α－15°)＋cs (105°－α)
＝sin [(75°＋α)－90°]＋cs [180°－(75°＋α)]
＝－sin [90°－(75°＋α)]－cs (75°＋α)
＝－cs (75°＋α)－cs (75°＋α)
＝－2cs (75°＋α)＝－ eq \f(2,3).]
14．已知f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin πx， （x<0），,f（x－1）－1，（x>0），))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,6)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)))＝________．
－2 [f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,6)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))＝sin eq \f(π,6)＝ eq \f(1,2)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))－1＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)))－2＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))－2
＝－ eq \f(5,2)，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,6)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)))＝ eq \f(1,2)－ eq \f(5,2)＝－2.]
15．化简： eq \f(sin （kπ－α）cs [（k－1）π－α],sin [（k＋1）π＋α]cs （kπ＋α）)(k∈Z).
[解] 当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝ eq \f(sin （2nπ－α）cs [（2n－1）π－α],sin [（2n＋1）π＋α]cs （2nπ＋α）)
＝ eq \f(sin （－α）cs （－π－α）,sin （π＋α）cs α)＝ eq \f(－sin α（－cs α）,－sin αcs α)＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝ eq \f(sin [（2n＋1）π－α]cs [（2n＋1－1）π－α],sin [（2n＋1＋1）π＋α]cs [（2n＋1）π＋α])
＝ eq \f(sin （π－α）cs α,sin αcs （π＋α）)＝ eq \f(sin αcs α,sin α（－cs α）)＝－1.
综上，原式＝－1.