专题2 集合间的基本关系-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

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专题2 集合间的基本关系题组1 集合的包含关系1.已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是(　　)A.P＝QB.PQC.PQD.P∩Q＝∅【答案】B【解析】P＝{x|y＝}＝[－1，＋∞)，Q＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，所以QP.2.集合M＝，N＝，则M与N的关系为(　　)A.M＝NB.M⊆NC.N⊆MD. 无法判断【答案】C【解析】M中，x＝＋＝N中，x＝k＋＝n＋，k＝n∈Z，∴N⊆M.3.指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.【答案】(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(3)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故NM.题组2 子集及其运算4.设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是(　　)A.A⊆BB.B⊆AC.B∈AD.A＝B【答案】C【解析】∵A＝{x|x⊆B}，∴A＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A.5.已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，C⊆A，C⊆B，则集合C最多含有________个元素.【答案】3【解析】由题意知C最多含有3个元素：4,5,6.6.已知集合M满足关系{a，b}⊆M⊆{a，b，c，d，e}，写出所有的集合M.【答案】满足条件的集合M可以是以下集合：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，b，c，d，e}，共8个，题组3 子集个数7.若集合A＝{1,2,3}，若集合B⊆A，则满足条件的集合B有(　　)A. 3个B. 7个C. 8个D. 9个【答案】C【解析】由集合B⊆A，则B是A的子集，则满足条件的B有23＝8个，故选C.8.若M⊆P，M⊆Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是(　　)A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M⊆C，这样的集合M共有22＝4个.9.定义集合运算A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，设A＝{0,1,2}，B＝{3,4,5}，则集合A◇B的子集个数为(　　)A. 32B. 31C. 30D. 14【答案】A【解析】∵A＝{0,1,2}，B＝{3,4,5}.又∵A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，∴A◇B＝{3,4,5,6,7}，由于集合A◇B中共有5个元素，故集合A◇B的所有子集的个数为25＝32个.故选A.10.已知a为不等于零的实数，那么集合M＝{x|x2－2(a＋1)x＋1＝0，x∈R}的子集的个数为(　　)A. 1B. 2C. 4D. 1或2或4【答案】D【解析】当Δ＝4(a＋1)2－4＞0时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，所以集合M的元素有两个，则集合M子集的个数为22＝4个；当Δ＝4(a＋1)2－4＝0即a＝－2时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0有两个相等的实数根，所以集合M的元素有一个，则集合M子集的个数为21＝2个；当Δ＝4(a＋1)2－4＜0时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0没有实数根，所以集合M为空集，则集合M的子集的个数为1个.综上，集合M的子集个数为：1或2或4.故选D.11.已知M＝{a|a≤－2或a≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有(　　)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】由(a－2)(a2－3)＝0，可得a＝2或a＝±，∵a∈M，M＝{a|a≤－2或a≥2}，∴A＝{2}.∴A的子集有：∅，{2}.集合A的子集共有2个.故选B.12.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“好元素”.给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有(　　)A. 6个B. 12个C. 9个D. 5个【答案】A【解析】要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，(要是不连在一起，分开的那个数就是“好元素”)，故不含“好元素”的集合共有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6种可能.故选A.13.若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为(　　)A. 15B. 16C. 28D. 25【答案】A【解析】具有伙伴关系的元素组有－1,1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，穷举可知个数共15个.故选A.题组4 真子集及其运算14.已知A＝{x|<－1}，B＝{x|x2－4x－m≥0}，若AB，则实数m的取值范围是(　　)A.m≥0B.m≤－3C. －3≤m≤0D.m≤－3或m≥0【答案】B15.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若AB，则实数a满足(　　)A.a＜3B.a≤3C.a＞3D.a≥3【答案】D【解析】由AB，结合数轴，得a≥3.16.已知集合A满足{0,1}A{0,1,2,3}，写出满足条件的所有的集合A.【答案】满足条件的集合A即为集合{2,3}的非空真子集，∴集合A有{0,1,2}，{0,1,3}.17.已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.(1)若AB，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围.【答案】(1)若AB，由图可知a＞2.(2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2.题组5 真子集个数18.已知集合A＝{1,2,3,4}，那么A的真子集的个数是(　　)A. 15B. 16C. 3D. 4【答案】A【解析】根据集合的元素数目与真子集个数的关系，n元素的真子集有2n－1个，集合A有4个元素，则其真子集个数为24－1＝15，故选A.19.已知集合S＝{x∈N|－2＜x－1＜4，且x≠1}，则集合S的真子集的个数是(　　)A. 32B. 31C. 16D. 15【答案】D【解析】根据题意，－2＜x－1＜4可化为－1＜x＜5；则集合S＝{x∈N|－2＜x－1＜4，且x≠1}＝{x∈N|－1＜x＜5，且x≠1}＝{0,2,3,4}.其子集共24－1＝16－1＝15个.故选D.20.已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}的非空真子集的个数为(　　)A. 1B. 2C. 4D. 不确定【答案】B【解析】∵集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}，a为给定的实数，关于方程x2－3x－a2＋2＝0，∵Δ＝(－3)2－4(2－a2)＝4a2＋1＞0，∴方程有两个不同的实根，∴集合M中有两个元素，∴集合M的非空真子集的个数为：22－2＝2，故选B.题组6 集合相等的概念21.已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，E＝{x|y＝x2＋1}，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，G＝{x|x≥1}，则(　　)A.P＝FB.Q＝EC.E＝FD.Q＝G【答案】D【解析】∵P＝{y＝x2＋1}是单元素集，集合中的元素是y＝x2＋1，Q＝{y|y＝x2＋1≥1}＝{y|y≥1}，E＝{x|y＝x2＋1}＝R，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，集合中的元素是点坐标，G＝{x|x≥1}.∴Q＝G.故选D.22.设集合A＝{x|y＝x2－4}，B＝{y|y＝x2－4}，C＝{(x，y)|y＝x2－4}，则下列关系：①A∩C＝空集；②A＝C；③A＝B；④B＝C，其中不正确的共有(　　)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】集合A是数集，它是二次函数y＝x2－4的自变量组成的集合，即A＝R，集合B也是数集，它是二次函数y＝x2－4的值域，即B＝{y|y≥－4}；而集合C是点集，是二次函数图象上所有点组成的集合.因此②③④都不正确.故选C.23.已知集合M＝{a,2,3＋a}，集合N＝{3,2，a2}.若集合M＝N.则a等于(　　)A. 1B. 3C. 0D. 0或1【答案】C【解析】由M＝N得①或②解①得a∈∅，解②得a＝0，此时M＝{0,2,3}，N＝{0,2,3}，满足M＝N.故选C.24.含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a＋b,0}，则a2 009＋b2 009的值为(　　)A. 0B. －1C. 1D. ±1【答案】B【解析】根据题意，对于{a，，1}，有a≠1，a≠0；又有{a，，1}＝{a2，a＋b,0}，则有a＝0或＝0；又由a≠0，故b＝0；代入集合中.可得{a,1,0}＝{a2，a,0}，必有a2＝1，又由a≠1，则a＝－1；则a2 009＋b2 009＝－1，选B.题组7 空集的性质及运算25.下面四个集合中，表示空集的是(　　)A. {0}B. {x|x2＋1＝0，x∈R}C. {x|x2－1＞0，x∈R}D. {(x，y)|x2＋y2＝0，x∈R，y∈R}【答案】B【解析】∵方程x2＋1＝0无实数解，∴{x|x2＋1＝0，x∈R}表示空集.故选B.26.在以下五个写法中：①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈∅；⑤0∩∅＝∅，写法正确的个数是(　　)A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】②③正确.27.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}.(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围.【答案】(1)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0化为－3x＋2＝0，解集非空；当a≠0时，要使A是空集，则Δ＝(－3)2－8a＜0，解得a＞.∴使A是空集的a的取值范围是(，＋∞).(2)当a＝0，集合A中有一个元素；当a≠0时，若A中有两个元素，则Δ＝(－3)2－8a＞0，解得a＜.综上，使A中至多只有一个元素的a的取值范围是a＝0或a≥.