北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试单元测试课后练习题

北师大版九年级数学下册

第一章　三角形的证明

单元测试训练卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1. 如图，能用AAS来判定△ACD≌△ABE，需要添加的条件是(    )

A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠B

B．∠ADC＝∠AEB，CD＝BE

C．AC＝AB，AD＝AE

D．AC＝AB，∠C＝∠B

2. 如图，在△ABC中，AC＝BC，D，E分别是AB，AC上的点，且AD＝AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF＝BD，则∠A的度数为(    )

A．30°  B．36°  C．45°  D．72°

3. 满足下列哪组条件可使△ABC是等腰三角形(    )

A．∠A＝50°，∠B＝60°

B．∠A＝50°，∠B＝100°

C．∠A＋∠B＝90°

D．∠A＋∠B＝90°

4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12 cm，则AB等于(    )

A．6 cm   B．7 cm   C．8 cm    D．9 cm

5. 如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACB＝105°，则∠B的度数为(　　)

A．15°  B．20°  C．25°  D．40°

6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为(    )

A．40°  B．36°  C．30°  D．25°

7. 如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(    )

A．AB＝AD    B．AC平分∠BCD

C．AB＝BD    D．△BEC≌△DEC

8. 如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，连接DE，四边形ABCD的面积为12 cm2.若BE平分∠ABC，则四边形ABED(阴影部分)的面积为(    )

A．4 cm2  B．6 cm2  C．8 cm2  D．10 cm2

9. 如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是(    )

A．2    B．3    C．4    D．6

10. 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一条直线上，连接BD，BE.下列四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE＋∠DBC＝45°；④BE2＝2(AD2＋AB2)．其中结论正确的个数是(    )

A．1  B．2  C．3  D．4

二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若AB＝6 cm，则BC＝__  __cm.

12. 如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交AC于点F，G，若∠B′DE＝50°，则∠EGC的度数为____．

13. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O.过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是____．

14. 如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别为40，50，60.其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝__________________．

15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为__  __．

16. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点D.下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.其中正确的有__________(填序号)．

三．解答题（共6小题， 56分）

17．(6分) 如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点．

求作：点E，使直线DE∥AB，且点E到B，D两点的距离相等．(保留作图痕迹，不必写作法)

18．(8分) 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，DE交BC于点F.若BD＝CE，求证：DF＝EF.

19．(8分) 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD相交于点O，AC＝BD.

(1)求证：BC＝AD；

(2)求证：△OAB是等腰三角形．

20．(10分) 在△ABC中，∠B＝22.5°，边AB的垂直平分线DP交AB于点P，交BC于点D，且AE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DF与AE交于点G，求证：EG＝EC.

21．(12分) 如图，O是等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD.

(1)求证：△COD是等边三角形；

(2)若∠AOB＝110°，∠BOC＝α，请探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

22．(12分) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．连接AO.

(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；

(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．

参考答案

1-5BBDCC    6-10BCBDC

11．3

12．80°

13．9

14．4∶5∶6

15．2

16．①②③④

17．解：图略，过点D作∠CDF＝∠CBA，延长FD交线段BD的垂直平分线于点E，则DE∥AB，且点E到B，D两点的距离相等．

18．证明：过点E作EG∥AB交BC于点G，则∠CGE＝∠ABC，∠GEF＝∠D，∠DBF＝∠EGF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠C＝∠EGC，∴CE＝EG.∵CE＝BD，∴BD＝GE.在△DBF和△EGF中，∴△DBF≌△EGF(ASA)，∴DF＝EF.

19．证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D＝∠C＝90°，在Rt△ADB与Rt△BCA中，∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)，∴BC＝AD　

(2)由(1)得，∠DBA＝∠CAB，∴OA＝OB，即△OAB是等腰三角形

20．解：如图所示：连接AD，∵∠B＝22.5°，且DP为AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∴∠B＝∠BAD，∴∠ADE＝2∠B＝45°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，∴∠DAE＝45°，∴AE＝DE，∵AE⊥DE，∴∠1＋∠2＝90°，∵DF⊥AC，∴∠2＋∠C＝90°，∴∠1＝∠C.在△DEG和△AEC中， ∴△DEG≌△AEC(AAS)，∴EG＝EC

21．解：(1)∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC.∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，∴CO＝CD，∴△COD是等边三角形　

(2)若△AOD是等腰三角形，则存在三种情况：①∠AOD＝∠ADO；②∠ODA＝∠OAD；③∠AOD＝∠DAO.∵∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∴∠BOC＝190°－∠AOD，而∠BOC＝∠ADC＝∠ADO＋∠CDO，由①得∠BOC＝∠AOD＋60°，求得α＝125°；由②得∠BOC＝150°－∠AOD.求得α＝110°；由③得∠BOC＝240°－2∠AOD，求得α＝140°，∴当α为125°，110°或140°时，△AOD为等腰三角形

22．证明：(1)如图，过点O作OM⊥AB于点M.∵四边形OECF是正方形，∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.∵BD平分∠ABC，∴OM＝OE＝OF.∵OM⊥AB于点M，OF⊥AC于点F，∴点O在∠BAC的平分线上．

(2)解：∵AC＝5，BC＝12，∴由勾股定理求得AB＝13.设OE＝x，易得AF＝AM＝5－x，BE＝BM＝12－x.∵BM＋AM＝AB＝13，∴12－x＋5－x＝13，解得x＝2.∴OE＝2.