高中人教B版 (2019)1.2.3 直线与平面的夹角导学案及答案

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直线与平面的夹角课标解读课标要求素养要求1.了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念.⒉能用向量语言表述直线与平面的夹角.3.能用向量法求线面角.1.数学抽象——能够在具体的几何图形中识别和作出直线与平面的夹角.⒉数学运算——能用向量法求直线与平面的夹角.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一直线与平面的夹角的概念1.直线与平面的夹角的定义如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为① ；如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为② .平面的斜线与它在平面内的③ 射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角.直线与平面所成的角也称为它们的夹角.2.直线与平面的夹角的性质如图所示，设是平面的一条斜线段，为斜足，为在平面内的射影，而是平面内的一条射线， . 记，则 ④ .平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.要点二用空间向量求直线与平面的夹角如图（1）（2）所示，可以看出或 ⑤ .特别地， .自主思考1.一条直线和一个平面所成的角的余弦值可以是负值吗?答案：提示不可以.因为直线和平面所成的角的范围是，所以直线和一个平面所成的角的余弦值不能是负值.2.直线与平面所成的角的性质中的“最小”说明了什么?答案：提示说明了一条直线与一个平面所成的角是唯一确定的. 3.向量分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则与所成的角是多少?答案：提示设与所成的角为，则 . .名师点睛1.直线与平面所成角的作法已知斜线和平面（如图），过作，交平面于点，连接，令，则锐角就是直线与平面所成的角.2.对直线与平面所成角的几点认识（1）设在平面内的射影为，且直线与平面的夹角为，则．（2）平面的法向量与所成的锐角的余角就是直线与平面所成的角.互动探究·关键能力探究点一利用定义求直线与平面的夹角精讲精练例如图，平面是矩形，平面，，，是线段上的点，是线段上的点，且，求直线与平面所成角的正弦值.答案：过点作交于点 .连接，如图.平面，平面 .则为直线与平面所成的角.，，， . ，，， .在中，， .解题感悟利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：①过斜线上的点向平面作垂线，连接垂足与斜足得射影，但要注意垂足的位置；②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影.迁移应用1.如图所示，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小是 .答案：解析：如图所示.取的中点连接，，易得，，，，平面，平面，故为与平面所成的角.易知在中，，，， .探究点二公式cosθ=cosθ1·cosθ2的应用精讲精练例若，则与平面所成角的余弦值为(     )A. B.C. D.答案：解析：如图，设在平面内的射影为，连接，，点在的平分线上，，为与平面所成的角.，即， .解题感悟公式在解题时经常用到，可用来求线面角 .在应用公式时，一定要分清分别对应图形中的哪个角. 迁移应用1.如图所示，已知平行六面体的底面是边长为的菱形，为菱形的中心，，，求证：平面 .答案：由题意可知，AC为的平分线，，且 .，直线在平面上的射影为直线，记，则 .，即点在平面上的射影为点，平面 .探究点三利用空间向量求直线与平面的夹角精讲精练例如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，，分别为，的中点.（1）求与平面所成的角；（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面的夹角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.答案：（1）如图所示，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，则，，设平面的一个法向量为，由得取，则，，， . 又， .（2）存在.设在线段上存在一点，使直线与平面的夹角为，不妨设，，则，所以解得即点的坐标为，所以，又是平面的一个法向量，所以，化简可得，解得（不符合题意，舍去），即点的坐标为，故在线段BD上存在一点，使直线与平面的夹角为 .解题感悟用空间向量求直线与平面所成的角的步骤：迁移应用1.在正方体中，与平面所成角的大小为 .答案：解析：如图所示，连接，交于点，连接 .设正方体的棱长为 .易证平面，为在平面上的射影.为与平面所成的角.在中，，，，，即与平面所成角的大小为 .评价检测·素养提升课堂检测1.已知向量分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则与所成的角为(     )A. B. C. D.答案：2.正方体中，直线与平面所成的角的正弦值为(     )A. B. C. D.答案：3.正四面体中，棱与平面所成角的余弦值为 .答案：素养演练数学运算——直线与平面夹角的最值或范围问题1.（2020湖南师大附中高二月考）如图，已知四棱锥中，底面为菱形，，，平面，分别是，的中点，点在棱上移动.（1）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；（2）当直线与平面所成的角最大时，确定点的位置.解析：审：本题中的几何体为底面是菱形的四棱锥，以此为载体证明面面垂直，以及求直线与平面夹角的最值.联：（1）连接，得出和，即可证明平面，从而得出平面平面；（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.答案：解：（1）证明：连接，底面为菱形，，为正三角形，是的中点，∴①，又，，平面，平面，，，平面， ②平面，平面，平面平面 .（2）由（1）知，两两垂直，故以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 . .设，则，则 ③ .设平面的一个法向量为，则令，则， .设直线与平面所成的角为，则，当 ④时，最大，此时为的中点.思：解答本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用向量关系建立线面角的关系，从而通过数量关系进行说明，解题的难点是求直线和平面夹角的最值，常用的方法是利用函数的单调性或基本不等式求解.