数学选择性必修 第二册4.2 等差数列教案

这是一份数学选择性必修 第二册4.2 等差数列教案，共8页。

数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。
数列是培养学生数学能力的良好题材。等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。
教学目标与核心素养
重点难点
重点： 等差数列的前n项和的应用
难点：等差数列前n项和公式的推导方法
课前准备
多媒体
教学过程
教学反思
由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。
课程目标
学科素养
A. 掌握等差数列前n项和公式的推导方法．
B.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．
C.掌握等差数列的前n项和的简单性质．
1.数学抽象：等差数列前n项和公式
2.逻辑推理：等差数列前n项和公式的推导
3.数学运算：等差数列前n项和公式的运用
4.数学建模：等差数列前n项和公式综合运用
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
新知探究
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋…＋100=？
你准备怎么算呢？
高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.
问题1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？
试从数列角度给出解释.
高斯的算法：
（1+100）+（2+99）+…+(50+51)= 101×50=5050
高斯的算法实际上解决了求等差数列：
1，2，3，…，n，…
前100项的和问题.
等差数列中，下标和相等的两项和相等.
设 an＝n，则 a1＝1，a2＝2，a3＝3，…
如果数列{an} 是等差数列，p，q，s，t∈N*，
且 p＋q＝s＋t，则 ap＋aq＝as＋at
可得：a1+a100=a2+a99=…=a50+a51
问题2： 你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？
问题3： 你能计算1＋2＋3＋… ＋n吗？
需要对项数的奇偶进行分类讨论.
当n为偶数时， Sn=1+n+[2+n−1+…+[n2+n2−1
=1+n+1+n…+1+n
=n21+n =n(1+n)2
当n为奇数数时， n－1为偶数
Sn=1+n+[2+n−1+…+[n+12−1+n+12+1]+ n+12
=1+n+1+n…+1+n+ n+12=n−121+n+ n+12
=n(1+n)2
对于任意正整数n，都有1＋2＋3＋… ＋n=n(1+n)2
问题4：不分类讨论能否得到最终的结论呢？
Sn= 1+ 2 + 3 +…+n
Sn= n+n−1+n−2+…+1
将上述两式相加，得
2Sn= n+1+n−12+n−2+3+…+1+n
= 1+n+1+n+…+1+n
= n 1+n
所以Sn= 1+2 +3 +…+n=n(1+n)2
问题5.上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列an的前n项和吗？
倒序求和法
Sn= a1+a2+a3 +…+an−2+an−1+an,
Sn=an+an−2+an−1+…+a3+a2+a1.
2Sn=( a1+an)+a2+an−1+…+(an+a1)
因为：a1+an=a2+an−1=…=an+a1
所以：2Sn =( a1+an)+ ( a1+an)+…+(a1+an)
=n( a1+an)
即：Sn=n(1+n)2
等差数列的前n项和公式
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
选用公式
Sn＝n(a1+an)2
Sn＝na1+n(n−1)2 d
功能1：已知a1，an和n，求Sn .
功能2：已知Sn，n，a1 和an中任意3个，求第4个.
二、典例解析
例6.已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7, a50=101,求S50；
（2）若a1=2, a2= 52,求S10；
（3）若a1=12，d= − 16, Sn= −5,求n ；
分析：对于（1），可以直接利用公式Sn=n(a1+an)2求和；在（2）中，可以先利用a1和a2的值求出d ，再利用公式Sn=na1+n(n−1)2 d求和；（3）已知公式Sn=na1+n(n−1)2 d中的a1，d和Sn，解方程即可求得n
解：（1）因为a1=7, a50=101 ，根据公式Sn=n(a1+an)2，可得
S20=50×(7+101)2=2700.
（2）因为a1=2, a2= 52， 所以d= 12.根据公式Sn=na1+n(n−1)2 d，可得
S10=10×2+10×(10−1)2 ×12 = 852
（3）把a1=12，d= − 16, Sn= −5代入Sn=na1+n(n−1)2 d，得
−5=12n+n(n−1)2 ×（−16）
整理，得n2−7n−60=0
解得n=12或n=−5（舍）,所以n=12
等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn
这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，
便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
跟踪训练1 已知等差数列{an}．
(1)a1＝eq \f(5,6)，a15＝－eq \f(3,2)，Sn＝－5，求d和n；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
[解] (1)∵a15＝eq \f(5,6)＋(15－1)d＝－eq \f(3,2)，∴d＝－eq \f(1,6).
又Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝－5，
解得n＝15或n＝－4(舍)．
(2)由已知，得S8＝eq \f(8a1＋a8,2)＝eq \f(84＋a8,2)＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
例7.已知一个等差数列an 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式2后， 可得到两个关于a1与d的二元一次方程，解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a1和 d
解：由题意，知S10=310, S20=1220,
把它们代入公式 Sn=na1+n(n−1)2 d
得10a1+45 d =31020a1+190 d =1220 解方程组，得a1=4d =6
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差。
一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。
(法二)∵数列{an}为等差数列，
∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，
∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，
即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220，
∴S30＝2 730.
(法三)设Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(310＝100A＋10B，,1 220＝400A＋20B，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝3，,B＝1.))
∴Sn＝3n2＋n.∴S30＝3×900＋30＝2 730.
(法四)由Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d，得eq \f(Sn,n)＝a1＋(n－1)eq \f(d,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是以a1为首项，eq \f(d,2)为公差的等差数列，
∴eq \f(S10,10)，eq \f(S20,20)，eq \f(S30,30)成等差数列，
∴eq \f(S10,10)＋eq \f(S30,30)＝2×eq \f(S20,20)，
∴S30＝30eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(S20,10)－\f(S10,10)))＝30×(122－31)＝2 730.
通过回顾历史中高斯小故事，提出等差数列求和问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
让学生经历由特殊到一般，分类与整合、数学结合等思想方法，感受等差数列求和公式的推导过程。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。
通过典型例题，加深学生对等差数列求和公式的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。
通过典型例题，加深学生对等差数列求和公式的综合运用能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素
三、达标检测
1．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】C [∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，
∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，
∴a7＝20.
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】A [由题a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.
∴a3＝1又∵S5＝eq \f(5a1＋a5,2)＝eq \f(5×2a3,2)＝5.]
3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则( )
A．an＝2n＋1 B．an＝－2n＋1
C．an＝－2n－1 D．an＝2n－1
【答案】B [由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，
当n＝1时，S1＝a1＝－1符合上式．
∴an＝－2n＋1.]
4．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
【答案】190 [S19＝eq \f(19a1＋a19,2)＝eq \f(19×2a10,2)＝190.]
5．已知等差数列{an}中，a1＝eq \f(3,2)，d＝－eq \f(1,2)，Sn＝－15，求n及a12.
【答案】∵Sn＝n·eq \f(3,2)＋eq \f(nn－1,2)·－eq \f(1,2)＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解之得n＝12或n＝－5(舍去)，
a12＝eq \f(3,2)＋(12－1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－4.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。