高中数学第四章 概率与统计4.2 随机变量4.2.1 随机变量及其与事件的联系导学案

这是一份高中数学第四章 概率与统计4.2 随机变量4.2.1 随机变量及其与事件的联系导学案，共8页。学案主要包含了补偿训练，思路导引等内容，欢迎下载使用。

1．随机变量的概念
随机变量与随机试验的结果的关系是怎样的？
提示：随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数．
2．随机变量与事件的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且：
(1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥；
(2)事件X≤a与X>a相互对立，因此
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≤a)) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X>a)) ＝1.
若a，b都是任意实数，随机变量X0为“不得0分”，X0是对立事件，X＝300与X0)＝1－ P(X＝0)＝1－0.06＝0.94；
P(X4 900)的值．
【思路导引】明确X与Y的含义及它们之间的关系．
【解析】(1)当X＝120时Y＝120×30＋1 000＝4 600.
(2)X与Y之间的关系式为Y＝30X＋1 000.
(3)X≤130⇔30X＋1 000≤4 900，
所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y≤4 900)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≤130)) ＝0.6
所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y>4 900)) ＝1－P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y≤4 900)) ＝1－0.6＝0.4.
两个随机变量关系问题的关注点
(1)衍生关系：若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b∈R，a≠0)也是随机变量．
(2)相等关系：P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝t)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y＝at＋b)) .
在本例已知条件下，若P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y>4 000)) ＝0.27，求P(X≤100)的值．
【解析】Y>4 000⇔30X＋1 000>4 000⇔X>100，
所以P(X>100)＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y>4 000)) ＝0.27，所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≤100)) ＝1－P(X>100)＝1－0.27＝0.73.
一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，每抽到一个白球加5分，抽到白球的个数为X，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，最终得分为Y.
(1)求X的取值范围；
(2)求最终得分Y的可能取值；
(3)若P(X>2)＝ eq \f(1,12) ，求P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y≤16)) .
【解析】(1)由题意得，X可能的取值为0，1，2，3，
所以X的取值范围是{0，1，2，3}．
(2)由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值为0，1，2，3，所以Y对应的值为5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.即Y的可能取值为6，11，16，21.显然，Y为离散型随机变量．
(3)因为X>2，所以Y＝5X＋6>16，
所以P(Y>16)＝P(X>2)＝ eq \f(1,12) ，
所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y≤16)) ＝1－ P(Y>16)＝1－ eq \f(1,12) ＝ eq \f(11,12) .
1．下列变量中，不是随机变量的是( )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两颗骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
【解析】选B.水沸腾时的温度是一个确定值，不是随机变量，其他都是随机变量．
2．已知随机变量Y＝2X，且P(X＝1)＝0.1，则P(Y＝2)＝( )
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．无法确定
【解析】选A.因为随机变量Y＝2X，当X＝1时，Y＝2，所以P(Y＝2)＝ P(X＝1)＝0.1.
3．(教材二次开发：例题改编)抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的事件是( )
A．一枚是3点，一枚是1点
B．两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
【解析】选D.ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．
4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6.现从中随机取出2个球，以X表示取出的球的最大号码，则“X＝6”表示的事件的样本点是______________________________________．
答案：(1，6)，(2，6)，(3，6)，(4，6)，(5，6)
5．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
(1)抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得点数之和Y.
(2)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数X，所含红粉笔的支数Y.
(3)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，所含有次品的件数X.
【解析】(1)Y的可能取值为2，3，4，…，12，
若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示(1，1)；{Y＝3}表示(1，2)，(2，1)；{Y＝4}表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…；{Y＝12}表示(6，6).
(2)X可取1，2，3.{X＝i}表示“取出i支白粉笔，3－i支红粉笔”，其中i＝1，2，3.Y可取0，1，2.{Y＝j}表示“取出j支红粉笔，3－j支白粉笔”，其中j＝0，1，2.
(3)随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4.
{X＝i}表示“取出的4件产品中有i件次品”，
其中i＝0，1，2，3，4.概念
一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量．
表示
随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示．
取值
随机变量的取值由随机试验的结果决定．
取值
范围
随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围．
分类
离散型随机变量
随机变量的所有可能取值可以一一列举出来．
连续型随机变量
随机变量的取值范围包含一个区间，不能一一列举出来．