专题02 集合初步（2）集合的运算-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）


专题02 集合初步（2）
集合的运算


知识梳理
一、交集运算
一般地，我们把属于集合A且属于集合B的所有元素构成的集合，叫集合A与B的交集，记作：
由定义可知，. 任意两个非空集合A、B的交集有以下四种情况：

任意两个非空集合A、B的交集具有以下性质：
1、
2、，
3、，即空集与任何集合的交集都是空集
4、
二、并集运算
一般地，我们把属于集合A或者属于集合B的所有元素构成的集合，叫集合A、B的并集，记作：
由定义可知，.任意两个非空集合A、B的并集有以下四种情况：

任意两个非空集合A、B的并集具有以下性质：
1、
2、,
3、，即空集与任何集合的并集都等于该集合
4、，
三、补集运算
一般地，设U是全集，，定义由属于U但不属于A的元素构成的集合叫A的补集，记作：
在维恩图中，我们以矩形表示全集，集合A的补集表示下图空白部分

补集的运算性质：
1、
2、
3、；；
四、 集合的运算律
1、交换律：；
2、结合律：；
3、分配律：；
4、德摩根定律：；
例题解析
一、有关交集的问题
【例1】（1）已知集合，，求；
【难度】★
【答案】
（2）已知集合，，求，并说明它的意义.
【难度】★
【解答】.
表示方程组的解的集合，也可以理解为两个一次函数图像的交点坐标的集合.
【说明】的元素是有序数对，而仍是集合，因此，不能写成.
【例2】（1）已知集合，，，求，.
【难度】★
【解答】∵，∴，.
【说明】与数的运算一样，集合的运算也是先算括号内，即先求.
（2）已知集合，，求.
【难度】★
【答案】，，.
【例3】（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知集合=,,则=。
【难度】★★
【答案】(1)[2,19]
(2)
(3)
【例4】已知集合，，求．
【难度】★★
【解答】对任意，则是有理数，同时满足：.又集合中元素小于6的仅有7个，他们是：．因此，．
【例5】已知集合，若，则实数的值是　　　．
【难度】★★
【答案】
【例6】已知集合，且M∩N={0，1}，则实数a的解集是（）
A.{0} B.{0，1} C.{1} D.
【难度】★★
【答案】A ∵M∩N={0，1}，即，∴a=0或a=±1，分别代入N中知a=±1不合题意，∴a=0。故选A。
【例7】已知集合，，求实数的取值范围.
【难度】★★
【解答】
【例8】已知集合,，且，求实数的值组成的集合．
【难度】★★
【解答】
【例9】设集合.若,求实数a,b所满足的条件。
【难度】★★
【答案】由题意得A={-3，6}，由，所以
从而
当，
，由-3是方程的根且，a=6,b=9
，同理可得a=-12，b=36
，a=-3,b=-18
建议利用韦达定理。
【例10】已知X是方程的实数解集，A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}.且X,则p+q= ．
【难度】★★
【答案】26
【例11】，，则 ．
【难度】★★
【答案】
【例12】已知，若，则实数的取值范围 ．
【难度】★★
【答案】


【例13】设集合，．
（1）若，且，求；
（2）若，且时，是否存在这样的实数，使得集合中仅有一个元素？若存在，求出的取值范围；若不存在，试说明你的理由．
【难度】★★
【答案】⑴；⑵．
【例14】设m、n为自然数，m>n，集合A={1，2，3…，m}，集合B={1，2，3，…n}，满足的A的子集C共有___________个。
【难度】★★★
【答案】个
由A的子集为个，由不属于B的元素有{n+1，n+2，…m}，这m-n个元素构成的是个子集，因为，则C共有个。
【例15】已知A=,其中x,t均为实数
(1) 求；
(2) 设m为实数，求。
【难度】★★★
【答案】（1）集合A实际上是使得恒成立的所有实数t的集合，故令
解得-3