高中数学人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算教案

这是一份高中数学人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算教案，共9页。
第01讲 平面向量及其线性运算
高考《考试大纲》的要求：
① 了解向量的实际背景。 ② 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
③ 理解向量的几何表示。 ④ 掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义。
⑤掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义;
⑥了解向量线性运算的性质及其几何意义； ⑦了解平面向量的基本定理及其意义;
（一）基础知识回顾：
1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向量的_____.
2.零向量: 模长为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量没有确定的方向.
3.单位向量: 模长等于________________的向量叫做单位向量,记作_______.
4.共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量. 规定:_______与任意向量共线.
其中模长相等方向相同的向量叫做____________;模长相等且方向相反的向量叫做___________;
5.向量的运算: 加法、减法、数乘运算的运算法则,运算率，及其几何意义.
6.向量共线定理:向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得___________.
7.平面向量基本定理: 如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使=_____________________.
8.三点共线定理:平面上三点A,B,C共线的充要条件是:存在实数α,β,使_____________________,
其中α+β=____, O为平面内任意一点.
9.①中点公式：若M是线段AB的中点, O为平面内任意一点,则 =__________________
②在△ABC中, 若G为重心,则 =_________, =____________.
（二）例题分析：
例1.下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．对于任意向量，有
C．若，则或 D．对于任意向量，有

例2．（2007北京理)已知是所在平面内一点，为边中点，且，
那么（　 　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．


例3．(2008广东理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若, ,则（ ）
A． B. C. D.

（三）基础训练：
1.(2006上海理)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A
B
C
D
（A）＝； （B）＋＝；
（C）－＝； （D）＋＝．

2．（2007湖南文）若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
　 A．　　 B. 　
C. 　 D.

3．（2003辽宁）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则（ ）
A． B．
C． D．
4.(2008辽宁理)已知O，A，B是平面上的三个点,直线AB上有一点C，满足,则（ ）
A． B． C． D．

5．（2003江苏；天津文、理）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足的轨迹一定通过的( )
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

6．（2005全国卷Ⅱ理、文）已知点，，．设的平分线与相交于，那么有，其中等于( )
（A）２ （B） （C）－３ （D）－

7．设是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则k=__________.


8.（2007江西理）．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝ m，＝n，则m＋n的值为 ．

9．（2005全国卷Ⅰ理）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m =


10.（2007陕西文、理）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且＝＝1，＝.若＝的值为 .

（四）拓展与探究：
11、（2006全国Ⅰ卷理）设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）
A． B． C． D．

A
O
M
P
B

12. （2006湖南理）如图2,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ;
当时,的取值范围是 .

第02讲 平面向量的坐标表示
高考《考试大纲》的要求：
① 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
② 学会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;
③ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
（一）基础知识回顾：
1. 平面向量的正交分解及其坐标表示:.
2. 平面向量的坐标运算:若=(x1,y1),=(x2,y2),λ∈R,则=__________________;
=__________________ ; =___________________.
3. 向量平行的坐标表示: ⇔______________________ .
4. 向量模的公式:设=(x,y),则______________________
6. 若已知点A(x1,y1), B(x2,y2) , 则向量=______________________;
若M(xO,yO)是线段AB的中点，则有中点坐标公式
（二）例题分析：
例1.(2008安徽理)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若,,则=( )
A． （－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4）



例2.(2004春招安徽文)已知向量,且,则的值分别是( )
（A）－2，1 （B）1，－2 （C）2，－1 （D）－1，2



例3.(2005全国卷III理、文)已知向量,且A、B、C三点
共线，则k= _______ .



（三）基础训练：
1．(2008四川文)设平面向量，则( )
　（Ａ）　　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）


2．（2006全国Ⅱ卷文）已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝( )
（A）9 (B)6 (C)5 (D)3


3.（2004浙江文）已知向量且∥，则= ( )
（A） （B） （C） （D）

4．(2007海南、宁夏文、理)已知平面向量，则向量（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

5．(2008辽宁文)已知四边形的三个顶点，，，且，
则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．


6．（2006山东文）设向量=(1,－3), =(－2,4),若表示向量4,3－2,的有向线段首尾相接
能构成三角形，则向量为（ ）
(A)（1，－1） (B)（－1， 1） (C) （－4，6） (D) （4，－6）



7．（2005湖北文）已知向量=(－2, 2) , =(5, k). 若不超过5，则k的取值范围是( )
A．[－4，6] B．[－6，4] C．[－6，2] D．[－2，6]



8．(2008广东文)已知平面向量，且∥，则=（ ）
A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）



9．（2004天津理、文）若平面向量与向量的夹角是，且，则( )
A. B. C. D.



10．(2008湖南文) 已知向量，，则=________.



11、（2004上海文）已知点A(-1,5)和向量=（2,3）,若=3,则点B的坐标为 .

.


12．(2008全国Ⅱ卷文、理)设向量，若向量与向量共线，
则 ．


（四）拓展与探究：
13.（2004上海理）已知点A(1, －2),若向量与=（2,3）同向, =2,则点B的坐标为


14.(2004春招安徽理)已知向量集合M＝{|＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R}，
N＝{|＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R}. 则M∩N＝( )
A.{(1，1)} B.{(1，1)，(－2，－2)} C.{(－2，－2)} D. Φ


第03讲 平面向量的数量积
高考《考试大纲》的要求：
① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义; ② 了解平面向量的数量积与向量投影的关系
③ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算
④ 能运用数量积表示两个 向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
（一）基础知识回顾：
1.平面向量数量积的定义:两个非零向量,其夹角为θ,则=_____________________叫做
和的数量积.其中______________叫做向量在方向上的投影.
2.数量积的坐标运算:设=(x1,y1),=(x2,y2),则=__________________;
3.两个向量垂直的充要条件:设两个非零向量,则有
向量式: ⊥ ⇔_____________; 坐标式：⊥⇔_____________________.
4.几个重要性质:
①； ②若与同向，则=________;若与反向，则=________;

③两个非零向量,其夹角为θ,则=___________________________________________.
（二）例题分析：
例1. (2008江苏) ，的夹角为，， 则 ．

例2.（2007四川文、理）设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)，为坐标平面上三点，O为坐标原点，
若上的投影相同，则a与b满足的关系式为（ ）
(A) (B) (C) (D)


例3.(2005江西理、文)已知向量,,则的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°


例4. （2004浙江文、理）已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5， 则·+·+·的值等于 。


（三）基础训练：
1．（2006全国Ⅰ卷文）已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．

2．（2005福建理）在△ABC中，∠C=90°，则k的值是（ ）
A．5 B．－5 C． D．

3．(2008湖北文、理)设=(1,-2), =(-3,4), =(3,2), 则 =（ ）
A.(-15,12)　　　B.0 C.-3 D.-11

4.（2007山东文）已知向量，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．4

5．（2006湖北理）已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则( )
A．（） B．（） C．（） D．（）

6．（2006浙江文）设向量满足,,则 （ ）
(A)1 (B)2 (C)4 (D)5


7．（2004重庆文、理）若向量的夹角为，,则向量的模为：（ ）
A． 2 B. 4 C. 6 D .12


8．（2007江西文）在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0，0)，
B(1，1)，则·＝ ．


9．（2006天津文、理）设向量与的夹角为，，，则　　　　　．


10.（2007上海文）若向量的夹角为，，则= ．


11.（2006北京文）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是 .


12．（2004天津文）已知向量若与垂直，则实数等于_______________


（四）拓展与探究：
13．(2008天津理)如图，在平行四边形中，，则 .



14、（2005江苏）在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，
则的最小值是__________。


第04讲 平面向量的应用
高考《考试大纲》的要求：
① 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题
② 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题
（一）例题分析：
例1.(2005湖南文）P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（ ）
　　A．外心　 B．内心　 C．重心　 D．垂心



例2．（2005全国卷Ⅱ理、文）点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）．设开始时点的坐标为（－１０，１０），则５秒后点的坐标为（ ）
（A）（-2，4） （B）（-30，25） （C）（10，-5） （D）（5，-10）


例C
D

3.（2007重庆理）如图，在四边形ABCD中，=0, 则的值为（ ）
A.2 B. C.4 D.

B
A


（二）基础训练：
1.(2007湖南理)设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（）
A． B． C． D．

2．(2008湖南文)在中，AB=3，AC=2，BC=，则 ( )
A． B． C． D．


3．（2008浙江理））已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是（ ）
（A）1 （B）2 （C） （D）

4．（2002全国新课程文、理，天津文、理）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中有且，则点的轨迹方程为( )
　（A）　　　　　　　　（B）
　　（C）　　　　　　　　　　 （D）

5．（2004辽宁）已知点、，动点，则点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

6. (2008湖南理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且
则与( )
A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直


7.（2006福建理）已知︱︱=1，︱︱=,=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，
设=m+n(m、n∈R)，则等于（ ）
A. B.3 C. D.

8．（2005全国卷III理、文）已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．


9．（2004春招上海）在中，有命题 ①； ②；
③若，则为等腰三角形； ④若，则为锐角三角形.
上述命题正确的是 （ ）
（A）①② （B）①④ （C）②③ （D）②③④


10.（2007上海理）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角
形 中，若，则的可能值个数是（　　）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

11.（2007天津文）在中，，，是边的中点，则= ．


12.（2007天津理）如图，在中，，是边上一点，，则　　 　　　．

（三）拓展与探究：
13.(2006陕西文、理)已知非零向量与满足(+)·=0且·= ,则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形


14.(2008山东文)已知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（ ）
A． B． C． D．


参考答案
第01讲 平面向量及其线性运算
（二）例题分析：
例1. B． 例2．Ａ． 例3．B.
（三）基础训练：
1. C； 2．B. 3．A． 4. A． 5．B 6．C； 7．_—4__；8. 2 ．9． 1 ；10. .
（四）拓展与探究：
11、D．； 12. ，.

第02讲 平面向量的坐标表示
（二）例题分析：
例1. B； 例2. D； 例3. ；
（三）基础训练：
1．Ａ； 2．B； 3. A； 4．Ｄ； 5．A； 6．D； 7．C； 8。C； 9．A. ；
10．__2___ ； 11。 （5，14） ； 12． 2 ．
（四）拓展与探究：
13. (5,4) ； 14. C.


第03讲 平面向量的数量积
（二）例题分析：
例1. 7 ； 例2.。A ； 例3。C； 例4. –25 ；
（三）基础训练：
1．C； 2．A； 3．C； 4. C； 5．B； 6. D； 7．C.
8． 1 ; 9．． 10.． 11. 90o . 12． __—1_；
（四）拓展与探究：
13． 3 . 14、__-2___。


第04讲 平面向量的应用
（一）例题分析：
例1. D． 例2．C; 例3. C.

（二）基础训练：
1．A． 2．D. 3．C . 4．D . 5．D． 6.A. 7.B. 8．C． 9．C 10.B
11.． 12.．
（三）拓展与探究：
13. D. 14. C．