人教版新课标B选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试课堂检测

人教版B数学选修2-1 3.2.3能力特训

平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为(　　)

A．30°　　　　　　　　　　 B．60°

C．45°   D．120°

解析：选B.由题意知：设线面角为θ，∴cosθ＝，∴θ＝60°，故选B.

若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)

A．120°   B．60°

C．30°   D．以上均错

答案：C

若平面α的一个法向量为n＝(3，3，0)，直线l的一个方向向量为b＝(1，1，1)，则l与α所成角的余弦值为________．

解析：由cos〈n，b〉＝＝，知l与α所成角的余弦值为 ＝.

答案：

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BD1与平面A1B1C1D1所成角的正切值为________．

解析：连接B1D1，

∴B1D1为BD1在平面A1B1C1D1内的射影，

∴∠BD1B1为BD1与平面A1B1C1D1所成的角，

设正方体棱长为a，则tan∠BD1B1＝＝.

答案：

[A级　基础达标]

直线l与平面α所成角为，直线m在平面α内且与直线l异面，则直线l与m所成角取值范围为(　　)

A．[，]   B．[0，]

C．[，]   D．[，π]

解析：选A.m与l异面，故其夹角最大为，最小即为线面角，故范围为[，]，故选A.

正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D.BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥D­ACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体棱长为a，则cos∠DD1H＝＝，故选D.

AB⊥平面α于B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为(　　)

A．90°   B．60°

C．45°   D．30°

解析：选C.设AC和平面α所成的角为θ，则cos60°＝cosθcos45°，故cosθ＝，所以θ＝45°.

如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(0，2，1)，b＝(，，)，那么这条斜线与平面的夹角为________．

解析：cosθ＝＝，因此a与b的夹角为30°.

答案：30°

已知空间四边形ABCD各边和对角线的长都相等，那么AC与平面BCD所成角的正弦值为________．

解析：过A作面BCD的垂线，垂足为O，则O为△BCD的中心，连接CO(图略)．设边长为1，则CO＝，

所以cos∠ACO＝＝，sin∠ACO＝.

答案：

正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．

解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0), A1(0，0，a)，C1(－a，，a)，

＝(0，a，0)，＝(0，0，a)，

＝，

设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)，

∴n·＝0且n·＝0.

∴ax＝0且ay＝0.∴x＝y＝0.故n＝(λ，0，0)．

∴cos〈，n〉＝＝－.

∴|cos〈，n〉|＝.

∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.

[B级　能力提升]

正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C.以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，令AB＝2，则A(2，0，0)，O(1，2，1)，∴＝(－1，2，1)．

又＝(0，0，2)为平面ABCD的法向量，设AO与平面ABCD所成角为α.

则sin α＝|cos〈，〉|＝＝＝.

如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点，则BD与平面ADMN所成的角θ为(　　)

A．30°   B．60°

C．120°   D．150°

解析：选A.如图所示，建立空间直角坐标系，设BC＝1，

则A(0，0，0)，B(2，0，0)，

D(0，2，0)，P(0，0，2)，

则N(1，0，1)，

∴＝(－2，2，0)，

＝(0，2，0)，＝(1，0，1)，

设平面ADMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则由得，取x＝1，则z＝－1，

∴n＝(1，0，－1)．

∵cos〈，n〉＝＝＝－，

又0°≤θ≤90°，∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝.

∴θ＝30°.

等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成角的大小为________．

解析：如图，作CO⊥α，则∠CAO＝30°，

设AC＝BC＝1，则OC＝，AB＝，

∵CM＝AB＝，∴sin∠OMC＝＝.

又∠OMC为锐角，∴∠OMC＝45°.

答案：45°

已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，点E、F、G、H分别在棱CC1、DD1、BB1、BC上，且CE＝CC1，DF＝BG＝DD1，BH＝BC.求AH与平面AFEG所成角的正弦值．

解：

建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0，0，1)，A(0，4，0)，F(4，4，1)，E(4，0，2)，

H(2，0，0)，＝(4，4，1)－(0，4，0)＝(4，0，1)，

＝(0，0，1)－(0，4，0)＝(0，－4，1)，＝(2，0，0)－(0，4，0)＝(2，－4，0)．

设n＝(x，y，z)是平面AFEG的一个法向量，则令x＝1，则z＝－4，y＝－1，

即n＝(1，－1，－4)，

设AH与平面AFEG所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝.

∴AH与平面AFEG所成角的正弦值为.

(创新题)

如图，已知四棱锥P­ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．

(1)证明：PE⊥BC；

(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，

求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1，0，0)，B(0，1，0)．

(1)证明：设C(m，0，0)，P(0，0，n)，(m<0，n>0)，

则D(0，m，0)，E.

可得＝，

＝(m，－1，0)．

因为·＝－＋0＝0，

所以PE⊥BC.

(2)由已知条件可得m＝－，n＝1，

故C，D，E，P(0，0，1)．

设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，

由即

因此可以取n＝(1，，0)．

由＝(1，0，－1)可得|cos〈，n〉|＝，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.