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    《导数在实际生活中的应用》教案3(苏教版选修2-2)练习题
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    《导数在实际生活中的应用》教案3(苏教版选修2-2)练习题

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    1.4课 题导数在实际生活中的应用

    教学目的:

    1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法;

      初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题

    教学重点:解有关函数最大值、最小值的实际问题.

    教学难点:解有关函数最大值、最小值的实际问题.

    授课类型:新授课

    课时安排:1课时

        :多媒体、实物投影仪

    教学过程

    一、复习引入:

    1.极大值: 一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0)x0是极大值点

    2.极小值:一般地,设函数f(x)x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0)x0是极小值点

    3.极大值与极小值统称为极值

    4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:

    满足,且在的两侧的导数异号,则的极值点,是极值,并且如果两侧满足左正右负,则的极大值点,是极大值;如果两侧满足左负右正,则的极小值点,是极小值

    5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:

     (1)确定函数的定义区间,求导数f(x)

    (2)求方程f(x)=0的根

    (3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那么f(x)在这个根处无极值

    6.函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数上必有最大值与最小值.在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.函数在闭区间上连续,是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个

    7.利用导数求函数的最值步骤:内的极值;的各极值与比较得出函数上的最值

    二、讲解范例:

    1边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少?

     

     

     

     

     

     

     

     

    解法一:设箱底边长为xcm,则箱高cm,得箱子容积

     

     

        =0,解得  x=0(舍去),x=40,

    并求得 V(40)=16 000

    由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积很小,因此,16 000是最大值

    答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16 000cm3

    解法二:设箱高为xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱子容积

    .(后面同解法一,略)

    由题意可知,当x过小或过大时箱子容积很小,所以最大值出现在极值点处.

    事实上,可导函数在各自的定义域中都只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值点,不必考虑端点的函数值

    2圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?

    解:设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积

    S=2πRh+2πR2

    由V=πR2h,得,则

    S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2

     +4πR=0

    解得,R=,从而h====2

       h=2R

    因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值

    答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省

    变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用材料最省?

     提示:S=2+h=

    V(R)=R=

    )=0

     

     

     

     

     

    例3在经济学中,生产x单位产品的成本称为成本函数同,记为C(x),出售x单位产品的收益称为收益函数,记为R(x)R(x)C(x)称为利润函数,记为P(x)

    1)、如果C(x),那么生产多少单位产品时,边际最低?(边际成本:生产规模增加一个单位时成本的增加量)

    2)、如果C(x)=50x10000,产品的单价P1000.01x,那么怎样定价,可使利润最大?

     

    变式:已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为.求产量q为何值时,利润L最大?

    分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.

    解:收入

    利润

    ,即,求得唯一的极值点

    答:产量为84时,利润L最大

    三、课堂练习

    1.函数y=2x33x212x+5在[03]上的最小值是___________.

    2.函数f(x)=sin2xx在[-,]上的最大值为_____;最小值为_______.

    3.将正数a分成两部分,使其立方和为最小,这两部分应分成_________.

    4.使内接椭圆=1的矩形面积最大,矩形的长为_____,宽为_____.

    5.在半径为R的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为___时,它的面积最大

    答案:1. 15  2.    3.     4.a  b  5.R

    四、小结 :

    解有关函数最大值、最小值的实际问题,需要分析问题中各个变量之间的关系,找出适当的函数关系式,并确定函数的定义区间;所得结果要符合问题的实际意义.

    根据问题的实际意义来判断函数最值时,如果函数在此区间上只有一个极值点,那么这个极值就是所求最值,不必再与端点值比较.

    相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单  

    五、课后作业

    1.有一边长分别为85的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起作成一个无盖小盒,要使纸盒的容积最大,问剪去的小正方形的边长应为多少?

    解:(1)正方形边长为x,V=82x)·(52x)x=2(2x313x2+20x)(0<x<)

    V=4(3x213x+10)(0<x<),V=0x=1  根据实际情况,小盒容积最大是存在的,

    x=1时,容积V取最大值为18.

    2.条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面尺寸时,希望在断面ABCD的面积为定值S时,使得湿周l=AB+BC+CD最小,这样可使水流阻力小,渗透少,求此时的高h和下底边长b.

    解:由梯形面积公式,得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BCDE=h,BC=b

    AD=h+b, S=    

    CD=,AB=CD.l=×2+b  

    b=h,代入,l=

    l==0,h=, h<时,l<0,h>时,l>0.

    h=时,l取最小值,此时b=

     

     

     

     

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