沪教版高中一年级 第一学期2.4基本不等式及其应用教案及反思

这是一份沪教版高中一年级 第一学期2.4基本不等式及其应用教案及反思，共5页。教案主要包含了用一次函数的性质，利用一元二次函数的判别式，利用函数的最值等内容，欢迎下载使用。
恒成立问题的基本类型：
类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立。
类型2：设
（1）当时，上恒成立，
上恒成立
（2）当时，上恒成立
上恒成立
类型3：
。
类型4：
恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
一、用一次函数的性质
对于一次函数有：
例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是。
二、利用一元二次函数的判别式
对于一元二次函数有：
（1）上恒成立；
（2）上恒成立
例2：若不等式的解集是R，求m的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；
（2）时，只需，所以，。
三、利用函数的最值（或值域）
（1）对任意x都成立；
（2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
例3：在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。
解析：由
，，恒成立，，即恒成立，
例4：（1）求使不等式恒成立的实数a的范围。
解析：由于函，显然函数有最大值，。
如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：
（2）求使不等式恒成立的实数a的范围。
解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。
所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。
四：数形结合法
对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。
例5：已知，求实数a的取值范围。
解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。
由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。
例6：若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
解析：由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。，故选D。
其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。
以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。
练习题：1、对任意实数x，不等式恒成立的充要条件是_______。
2、设上有意义，求实数a的取值范围.。
3、当恒成立，则实数a的范围是____。
4、已知不等式： 对一切大于1的自然数n恒成立，求实数a的范围。