数学高中一年级 第一学期2.5不等式的证明导学案及答案

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§2.1.2不等式的证明(2)综合法与分析法 ☆学习目标： 1.理解并掌握综合法与分析法;                   2.会利用综合法和分析法证明不等式☻知识情景： 1. 基本不等式：10. 如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立.20. 如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立.30. 如果, 那么, 当且仅当时, 等号成立.  2.均值不等式：如果,那么 的大小关系是：                          常用推论：10. ;                20. ;                 30. (). 3. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．                           20. 综合法和分析法．                                 30. 反证法、换元法、放缩法☆案例学习：   综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,           通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.             又叫由    导     法.             用综合法证明不等式的逻辑关系：例1       例2     分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,     直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),        从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.           这是一种执    索     的思考和证明方法.        用分析法证明不等式的逻辑关系：  例3         例4           例5 证明：                    选修4-5练习         §2.1.2不等式的证明(2)       姓名       1、已知求证       2、已知 求证      3、已知求证：（1）（2）           4、已知都是正数。求证：     （1）    （2）           5、已知都是互不相等的正数，求证    6 是互不相等的正数，且. 求证:．     7 已知a，b，m都是正数，并且分别用综合法与分析法求证:．    8设，分别用综合法与分析法求证:       9（1）已知是正常数,,,求证：,指出等号成立的条件；   （2）利用（1）的结论求函数()的最小值，指出取最小值时的值．             答案:  例1          例2          例3        例4             例5  证明   （1）      （2） （3）                             （4）                                       （5）        （5）显然成立。因此（1）成立。  练习6 ∵ 是互不相等的正数，且   ∴    ∴7 证法一  要证（1），只需证    （2）要证（2），只需证              （3）要证（3），只需证                 （4）已知（4）成立，所以（1）成立。      上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二  因为 是正数，所以   两边同时加上得       两边同时除以正数得（1）。8证法一  分析法要证成立.只需证成立，又因，只需证成立，又需证成立，即需证成立.而显然成立. 由此命题得证。 证法二  综合法                                            注意到，即，由上式即得，                  从而成立。    议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？9（1），
            故．当且仅当，即时上式取等号； 
      ⑵由⑴得．
        当且仅当，即时上式取最小值，即．