2020-2021学年1.5 平面上的距离精练

这是一份2020-2021学年1.5 平面上的距离精练，共4页。
1．已知点A(7，4)，B(4，8)，则A，B两点的距离为( )
A．25 B．5
C．4 D.eq \r(7)
解析：选B 由两点间的距离公式得|AB|＝eq \r(（4－7）2＋（8－4）2)＝eq \r(25)＝5.
2．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6 B.eq \r(2)
C．2 D．不能确定
解析：选B 由kAB＝1，得eq \f(b－a,1)＝1，∴b－a＝1.
∴|AB|＝ eq \r(（5－4）2＋（b－a）2)＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2).
3．已知坐标平面内三点A(3，2)，B(0，5)，C(4，6)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 由两点间的距离公式，
可得|AB|＝eq \r(18)，|BC|＝|CA|＝eq \r(17)，
且|BC|2＋|CA|2≠|AB|2，
∴△ABC为等腰三角形．
4．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是( )
A．2eq \r(5) B．3eq \r(5)
C.eq \f(5\r(5),2) D.eq \f(7\r(5),2)
解析：选C 由中点坐标公式可得，BC边的中点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，6)).
由两点间的距离公式得|AD|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(3,2)))\s\up12(2)＋（1－6）2)＝eq \f(5\r(5),2).故选C.
5．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．2 B．4
C．5 D.eq \r(17)
解析：选D 根据中点坐标公式得到eq \f(x－2,2)＝1且eq \f(5－3,2)＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4，1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝eq \r(（4－0）2＋（1－0）2)＝eq \r(17).
6．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则A与B坐标分别为________，|AB|＝________．
解析：设A(x，0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，∴eq \f(x,2)＝2，eq \f(y,2)＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)，
∴|AB|＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5).
答案：(4，0)，(0，－2) 2eq \r(5)
7．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则eq \f(|AC|,|CB|)的值为________．
解析：由两点间的距离公式，
得|AC|＝eq \r([3－（－1）]2＋（4－0）2)＝4eq \r(2)，
|CB|＝eq \r(（3－5）2＋（4－6）2)＝2eq \r(2)，故eq \f(|AC|,|CB|)＝eq \f(4\r(2),2\r(2))＝2.
答案：2
8．在x轴上找一点Q，使点Q与A(5，12)间的距离为13，则Q点的坐标为________．
解析：设Q(x0，0)，则有13＝eq \r(（5－x0）2＋122)，得x0＝0或x0＝10.
答案：(10，0)或(0，0)
9．已知△ABC的三个顶点是A(－1，0)，B(1，0)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，试判断△ABC的形状．
解：因为|BC|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝ eq \r(\f(1＋3,4))＝1，
|AB|＝2，|AC|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \r(3)，
有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
所以△ABC是直角三角形．
10．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标A(－2，5)，B(－1，6)，C(2，3)．
(1)求顶点D的坐标；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
解：(1)因为A(－2，5)，C(2，3)，所以AC中点为(0，4)，
该点也为BD中点，设D(x，y)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x－1,2)＝0，,\f(y＋6,2)＝4))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，))所以D(1，2)．
(2)因为|AC|＝eq \r(（－2－2）2＋（5－3）2)＝2eq \r(5)，同理|AB|＝eq \r(2)，|BC|＝3eq \r(2)，
∵|AB|2＋|BC|2＝|BC|2，∴AB⊥BC，平行四边形ABCD是矩形，
四边形ABCD的面积为S＝AB×BC＝3eq \r(2)×eq \r(2)＝6.
[B级 综合运用]
11．已知平面上两点A(x，eq \r(2)－x)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0))，则|AB|的最小值为( )
A．3 B.eq \f(1,3)
C．2 D.eq \f(1,2)
解析：选D ∵|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)－x－0))\s\up12(2))＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3\r(2),4)))\s\up12(2)＋\f(1,4))≥eq \f(1,2)，当且仅当x＝eq \f(3\r(2),4)时等号成立，∴|AB|min＝eq \f(1,2).
12．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( )
A.eq \f(\r(89),5) B.eq \f(17,5)
C.eq \f(13,5) D.eq \f(11,5)
解析：选C 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,5)))，
由两点间的距离公式，得|AB|＝eq \f(13,5).
13．在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4，6)的距离相等，则点P的坐标为________．
解析：设P点的坐标是(a，a＋4)，
由题意可知|PM|＝|PN|，
即eq \r(（a＋2）2＋（a＋4＋4）2)＝eq \r(（a－4）2＋（a＋4－6）2)，
解得a＝－eq \f(3,2)，故P点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2)))
14．已知直线ax＋2y－1＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为eq \f(\r(2),4)，求a的值．
解：由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝eq \f(1,a)，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，0))，令x＝0，有y＝eq \f(1,2)，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，故AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)，\f(1,4)))，
∵线段AB的中点到原点的距离为eq \f(\r(2),4)，
∴ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)－0))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－0))\s\up12(2))＝eq \f(\r(2),4)，解得a＝±2.
[C级 拓展探究]
15．已知ABCD是一个长方形，AB＝4，AD＝1.判断线段CD上是否存在点P，使得AP⊥BP.如果存在，指出满足条件的P有多少个；如果不存在，说明理由．
解：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．依据已知可得A(－2，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(－2，1)．
设P(t，1)是线段CD上一点，则－2≤t≤2，且eq \(PA,\s\up7(―→))＝(－2－t，－1)，eq \(PB,\s\up7(―→))＝(2－t，－1)．
因为AP⊥BP的充要条件是eq \(PA,\s\up7(―→))⊥eq \(PB,\s\up7(―→))，即eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))＝0，即(－2－t)(2－t)＋1＝0.
又因为上述方程的解为t＝eq \r(3)或t＝－eq \r(3)，所以满足条件 的P点存在，而且有两个．